Пусть $M$ – середина гипотенузы $AB$ прямоугольного треугольника $ABC$. Окружность, проходящая через $C$ и $M$, пересекает прямые $BC$ и $AC$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Пусть $c_1, c_2$ – окружности с центрами $P$, $Q$ и радиусами $BP$, $AQ$ соответственно. Докажите, что $c_1$, $c_2$ и описанная окружность треугольника $ABC$ проходят через одну точку.

   Решение

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Радикальная ось ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

Дан треугольник $ABC$ и окружность $\gamma$ с центром в точке $A$, которая пересекает стороны $AB$ и $AC$. Пусть общая хорда описанной окружности треугольника и окружности $\gamma$ пересекает стороны $AB$ и $AC$ в точках $X$ и $Y$ соответственно. Отрезки $CX$ и $BY$ пересекают $\gamma$ в точках $S$ и $T$ соответственно. Описанные окружности треугольников $ACT$ и $BAS$ пересекаются в точках $A$ и $P$. Докажите, что прямые $CX$, $BY$, и $AP$ пересекаются в одной точке.

Решение

Пусть $U$ – вторая точка пересечения прямой $BY$ с $\gamma$. Так как $TU$, $AC$ и общая хорда окружностей $ABC$ и $\gamma$ пересекаются в точке $Y$, $AY\cdot CY=TY\cdot UY$, т.е. $A$, $U$, $C$, $T$ лежат на одной окружности. Аналогично $A$, $B$, $S$ и вторая точка пересечения прямой $CX$ с $\gamma$ лежат на одной окружности. Следовательно, прямые $CX$, $BY$, и $AP$ пересекаются в одной точке как радикальные оси окружностей $\gamma$, $ACT$ и $BAS$.

Источники и прецеденты использования