Задача 66828
|
|
 |
Условие
Два остроугольных треугольника $ABC$ и $A_{1}B_{1}C_{1}$ таковы, что точки $B_{1}$ и $C_{1}$ лежат на стороне $BC$, а точка $A_{1}$ – внутри треугольника ABC. Пусть $S$ и $S_{1}$ – соответственно площади этих треугольников. Докажите, что $\frac{S}{AB+AC} > \frac{S_1}{A_1B_1 + A_1C_1}$.
Решение
Пусть точки $D$ и $D_{1}$ симметричны точкам $A$ и $A_{1}$ относительно $BC$. Проведём биссектрисы $AK$ и $A_{1} K_{1}$ наших треугольников. Заметим, что $K$ и $K_{1}$ – центры окружностей, вписанных в четырёхугольники $ABDC$ и $A_{1}B_{1}D_{1}C_{1}$, а требуемое неравенство превратилось в очевидное неравенство $r > r_{1}$, где $r$ и $r_{1}$ – радиусы указанных окружностей.
Замечания
7 баллов
