|
|
 |
Условие
Треугольник $ABC$ равносторонний. На сторонах $AB$ и $AC$ выбрали точки $E$ и $F$, а на продолжении стороны $AB$ – точку $K$ так, что $AE=CF=BK$. Точка $P$ – середина $EF$. Докажите, что угол $KPC$ прямой.Решение 1
На продолжении отрезка $CP$ за точку $P$ отметим такую точку $T$, что $CP=PT$. Тогда $FCET$ – параллелограмм, откуда $TE$ равно и параллельно $FC$. Но тогда треугольники $TEK$ и $KBC$ равны по первому признаку: тупые углы у них равны $120^\circ$ и соответствующие стороны при этих углах равны. Следовательно, треугольник $TKC$ равнобедренный и его медиана $KP$ является высотой.
Решение 2
Построим равносторонний треугольник $AKL$. Ясно, что $PC$ – средняя линия треугольника $EFL$. Треугольники $EKL$ и $CAK$ равны ($KL = AK$, $EK = AC$, $\angle EKL = \angle CAK$). Значит, $CK = EL = 2PC$. Треугольники $EAL$ и $CLK$ также равны, поэтому $\angle ELA = \angle CKL$. Следовательно, $KCP = 60^\circ - \angle PCA + \angle BCK = 60^\circ - \angle ELA + \angle CKL = 60^\circ$ (мы использовали, что $PC\parallel EL$ и $BC\parallel KL$). Но тогда $KPC$ – половина равностороннего треугольника, откуда угол $KPC$ прямой.
