Задача 66967

Темы:    [ Пятиугольники ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Кухарчук И.

В выпуклом пятиугольнике $ABCDE$ равны углы $CAB$, $BCA$, $ECD$, $DEC$ и $AEC$. Докажите, что середина $BD$ лежит на $CE$.

Решение

Из условия следует, что $CD\parallel AE$. Пусть прямая, проходящая через $B$ и параллельная $AE$, пересекает $AC$ и $CE$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Тогда точки $P$ и $Q$ делят в одинаковом отношении основания $CA$ и $CE$ подобных равнобедренных треугольников $ABC$ и $CDE$. Поэтому $\angle CBQ=\angle CDQ$, $BCDQ$ – параллелограмм и середины отрезков $BD$ и $CQ$ совпадают.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2021
класс
Класс	8
задача
Номер	8.7