Условие
В пространстве имеется 43 точки: 3 желтых и 40 красных. Никакие четыре из них не лежат в одной плоскости.
Может ли количество треугольников с красными вершинами, зацепленных с треугольником с желтыми вершинами, быть равно $2023$?
Жёлтый треугольник зацеплен с красным, если контур красного пересекает часть плоскости, ограниченную жёлтым, ровно в одной точке.
Треугольники, отличающиеся перестановкой вершин, считаются одинаковыми.
Решение
Соединим отрезком каждую пару красных точек, лежащих по разные стороны от желтой плоскости (проходящей через три желтые точки), и покрасим отрезки, пересекающие желтый треугольник во внутренней точке в черный цвет, а остальные – в белый. Очевидно, что число красных треугольников, зацепленных с желтым,равно числу пар разноцветных отрезков, имеющих общую вершину. Назовем такую пару
галкой. Если число красных точек по каждую сторону желтой плоскости нечетно, то количества черных и белых отрезков, выходящих из каждой красной точки имеют разную четность, поэтому каждая красная точка является вершиной для четного числа галок. Если же число красных точек по каждую сторону от желтой плоскости четно, то рассмотрим граф, вершинами которого являются красные точки, а ребрами черные отрезки. Число вершин нечетной степени в нем четно, следовательно, общее число галок опять будет четным.
Ответ
Нет.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина |
|
год |
|
Год |
2023 |
|
класс |
|
Класс |
10 |
|
задача |
|
Номер |
10.7 |
