Задача 73621

Темы:    [ Замощения костями домино и плитками ] [ Вспомогательная раскраска (прочее) ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9

Условие

Автор: Лиманов Л.Г.

а) Дно прямоугольной коробки было выложено плитками размерами 2×2 и 1×4. Плитки высыпали из коробки и при этом потеряли одну плитку 2×2. Вместо неё удалось достать плитку 1×4. Докажите, что теперь выложить дно коробки плитками не удастся.
б) Останется ли верным утверждение задачи, если вместо плиток 1×4 и 2×2 рассматривать плитки из трёх квадратиков: прямоугольные 1×3 и "уголки").

Решение

  а) Расчертим дно коробки на квадратики размера 1×1 и отметим те квадратики, которые стоят на нечётных местах в нечётных рядах (см. рис.).

  Заметим, что каждая плитка 1×4, закрывающая четыре квадратика на дне коробки, будет закрывать обязательно чётное число отмеченных квадратиков (2 или 0), а плитка 2×2 всегда закрывает ровно один отмеченный квадратик. Таким образом, если плитки целиком закрывают дно коробки, то количество плиток 2×2 имеет ту же чётность, что и общее число отмеченных квадратиков на дне коробки. Поэтому, если количество плиток 2×2 изменилось на единицу (или вообще на нечётное число), то вновь заполнить коробку не удастся.

  б) Контрпример см. на рисунке.

Источники и прецеденты использования

журнал
Название	"Квант"
год
Год	1971
выпуск
Номер	6
Задача
Номер	М86