Задача 73625

Темы:    [ Иррациональные неравенства ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Натансон Г.И.

Если x₁ < x₂ < x₃ < ... < x_n — натуральные числа, то сумма n – 1 дробей, k-я из которых, где k < n, равна отношению квадратного корня из разности x_k+1 - x_k к числу x_k+1, меньше суммы чисел 1, ¹/₂, ¹/₃, ..., ¹/_n². Докажите это.

Решение

Предположим сначала, что x_n ≤ n². Тогда

Последняя сумма, очевидно, не превосходит содержащей столько же слагаемых суммы
Но тогда
Предположим теперь, что среди чисел x₀, x₁, x₂, ..., x_n есть большие, чем n².
Если x_i > n², то
Таким образом, каждое слагаемое со знаменателем x_i, большим n² , меньше . Следовательно, сумма всех таких слагаемых (их не более чем n ) меньше 1. Но сумма остальных слагаемых, как уже было показано выше, меньше + + ... + , что и завершает доказательство исходного неравенства.

Источники и прецеденты использования

журнал
Название	"Квант"
год
Год	1971
выпуск
Номер	6
Задача
Номер	М90