|
|
 |
Условие
В пространстве заданы четыре точки, не лежащие в одной плоскости.
Сколько существует различных параллелепипедов, для которых эти точки служат вершинами?
Решение
Три "средние плоскости" искомого параллелепипеда (плоскости, равноудалённые от всех восьми его вершин) должны удовлетворять следующим условиям:
1) каждая из них равноудалена от данных четырёх точек;
2) все три плоскости пересекаются в одной точке.
Обратно, если удастся указать тройку плоскостей, удовлетворяющих условиям 1) и 2), то параллелепипед, в котором они служат "средними", определяется однозначно: достаточно через четыре данные точки провести все различные плоскости, параллельные каждой плоскости из этой тройки.
Существует ровно 7 плоскостей, равноудаленных от четырёх
вершин тетраэдра KLMN. Действительно, достаточно указать, какие точки лежат по одну сторону такой плоскости, а какие – по другую. Возможно, что по одну сторону будут лежать три точки, а по другую – одна (четыре варианта), а возможно, что по обе стороны будет по две точки (три варианта).
Все эти 7 плоскостей пересекают рёбра тетраэдра в серединах, а грани – по средним линиям (четыре плоскости первого типа пересекают тетраэдр по треугольнику, а три плоскости второго типа – по параллелограмму.
Три плоскости из семи мы можем выбрать способами. Каждая из этих троек удовлетворяет условию 1); остаётся выяснить, сколько из этих троек не удовлетворяет условию 2), то есть состоит из плоскостей, параллельных одной прямой. Линия пересечения любых двух из таких трёх плоскостей также будет параллельна этой прямой.
Две плоскости второго типа пересекаются по прямой, соединяющей середины двух противоположных рёбер тетраэдра KLMN. Но остальные пять плоскостей не параллельны этой прямой. Плоскость первого типа и плоскость второго типа пересекаются по средней линии одной из граней, значит, они параллельны одному из рёбер тетраэдра. Этому же ребру тетраэдра параллельна еще одна плоскость первого типа (и только она). Итак, каждому из шести рёбер тетраэдра соответствует одна плохая "тройка".
Линии пересечения плоскостей первого типа, как мы видели выше, параллельны рёбрам тетраэдра. Все соответствующие "плохие" тройки уже учтены.
Итого, "хороших" троек (а значит, и параллелепипедов) 35 – 6 = 29.
Ответ
29 параллелепипедов.
Замечания
Подробное обсуждение и другой подход см. в решениях Задачника "Кванта".
