Условие
Даны два треугольника:
ABC и
DEF и точка
O. Берется любая
точка
X в
ABC и любая точка
Y в
DEF; треугольник
OXY
достаивается до параллелограмма
OXZY.
а) Докажите, что все полученные таким образом точки образуют многоугольник.
б) Сколько сторон он может иметь?
в) Докажите, что его периметр равен сумме периметров исходных треугольников.
Решение
Решим задачу в более общем виде, когда вместо двух треугольников взяты выпуклые
n1-угольник и
n2-угольник. Сначала докажем, что полученная фигура
выпукла. Пусть
A1 и
A2 — точки этой фигуры. Тогда существуют
параллелограммы
OB1A1C1 и
OB2A2C2 с вершинами
B1 и
B2,
принадлежащими
n1-угольнику, и вершинами
C1 и
C2, принадлежащими
n2-угольнику. Если мы построим соответствующие точки для всех пар точек
отрезков
B1B2 и
C1C2, то в результате получим параллелограмм со
сторонами, параллельными
B1B2 и
C1C2, и с диагональю
A1A2. (Для
доказательства удобнее рассматривать не вершины параллелограмма, а их центры.)
В частности, отрезок
A1A2 принадлежит полученной фигуре, поэтому она
выпукла.
Возьмём на плоскости произвольную ось координат
Ox.
Опорным множеством
многоугольника, соответствующим оси
Ox, назовём множество точек
многоугольника, проекции которых на ось
Ox имеют наибольшее значение (опорное
множество — это вершина или сторона многоугольника). Выпуклый многоугольник
задаётся своими опорными множествами для всех возможных осей
Ox. Если
опорными множествами исходных
n1-угольника и
n2-угольника являются
отрезки длины
a1 и
a2, то опорным множеством полученной фигуры будет
отрезок длины
a1 +
a2. Тем самым утверждение про периметр доказано. Число
сторон полученного многоугольника может быть любым числом, заключённым
между
n1 +
n2 и наибольшим из чисел
n1 и
n2 (оно равно
n1 +
n2 лишь в
том случае, когда для любой оси
Ox одно из опорных множеств исходных
многоугольников имеет нулевую длину).
Источники и прецеденты использования
