ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 77897
Темы:    [ Экстремальные свойства треугольника (прочее) ]
[ Свойства симметрии и центра симметрии ]
[ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ]
[ Выпуклые многоугольники ]
[ Классические неравенства (прочее) ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В данный треугольник поместить центрально-симметричный многоугольник наибольшей площади.


Решение

  Пусть O – центр симметрии многоугольника M, расположенного внутри треугольника T,  S(T) – образ треугольника T при симметрии относительно точки O. Тогда M лежит и в T, и в S(T). Поэтому среди всех центрально симметричных многоугольников с данным центром симметрии, лежащих в T, наибольшую площадь имеет пересечение  TS(T).  Точка O лежит внутри треугольника T, так как  TS(T)  – выпуклый многоугольник.
  Пусть A1, B1, C1 – середины сторон BC, CA, AB треугольника  T = ABC.  Рассмотрим два случая.
  1) Точка O лежит внутри треугольника A1B1C1. Тогда пересечением  TS(T)  – шестиугольник. Пусть сторона AB делится сторонами треугольника S(T) в отношении  x : y : z,  где  x + y + z = 1.  Тогда отношение суммы площадей треугольников, прилегающих к вершинам A, B, C, к площади треугольника ABC равно  x² + y² + z².  Из неравенства между средним арифметическим и средним квадратичным (см. задачу 61402 б) следует, что
x² + y² + z² ≥ ⅓ (x + y + z)² = ⅓,  причём равенство достигается только при  x = y = z.  Последнее означает, что O – точка пересечения медиан треугольника ABC.
  2) Точка O лежит внутри треугольника AB1C1. В этом случае пересечением  TS(T)  является параллелограмм, причём если мы заменим точку O точкой пересечения прямых AO и B1C1, то площадь этого параллелограмма не уменьшится. Если же точка O лежит на стороне B1C1, то этот случай уже фактически был нами рассмотрен (нужно положить  x = 0).


Ответ

Искомым многоугольником является шестиугольник с вершинами в точках, делящих стороны треугольника на три равные части.
Его площадь равна ⅔ площади треугольника.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 12
Год 1949
вариант
Класс 9,10
Тур 2
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .