Задача 77985

Темы:    [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Классическая комбинаторика (прочее) ] [ Многоугольники (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 9

Условие

На окружности даны точки A₁, A₂,..., A₁₆. Построим все возможные выпуклые многоугольники, вершины которых находятся среди точек A₁, A₂,..., A₁₆. Разобьём эти многоугольники на две группы. В первую группу будут входить все многоугольники, у которых A₁ является вершиной. Во вторую группу входят все многоугольники, у которых A₁ в число вершин не входит. В какой группе больше многоугольников?

Решение

Каждому многоугольнику, не имеющего вершины A₁, сопоставим многоугольник с вершиной A₁, просто добавив A₁ к его вершинам. Обратная операция (отбрасывание вершины A₁) невозможна для треугольников.

Ответ

В первой.

Замечания

1. Конечно, можно непосредственно подсчитать число многоугольников в каждой из указанных групп.
2. В книге Прасолова задача предлагалась для произвольного числа точек.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	27
Название	Индукция и комбинаторика
Тема	Неопределено
параграф
Номер	2
Название	Комбинаторика
Тема	Комбинаторика (прочее)
задача
Номер	27.006
олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	16
Год	1953
вариант
Класс	8
Тур	2
задача
Номер	3