Задача 78080

Темы:    [ Неравенства с площадями ] [ Итерации ]

Сложность: 6 Классы: 8,9

Условие

На столе лежат 15 журналов, закрывающих его целиком. Докажите, что можно забрать семь журналов так, чтобы оставшиеся журналы закрывали не меньше 8/15 площади стола. (Эту задачу не решил никто из участников олимпиады.)

Решение

Докажем сначала, что если n журналов покрывают площадь S, то можно убрать один журнал так, чтобы оставшиеся журналы покрывали площадь не менее (n - 1)S/n. Если после того как мы уберём некоторый журнал, оставшиеся журналы будут покрывать площадь меньше (n - 1)S/n, то площадь, которую покрывает только этот журнал, больше S/n. Предположим, что после того как мы уберём произвольный журнал, оставшиеся журналы будут покрывать площадь меньше (n - 1)S/n. Тогда площадь, которую покрывает только один (произвольный) журнал, больше S/n. Поэтому площадь, которую покрывают n - 1 журналов, больше (n - 1)S/n. Приходим к противоречию. Пусть 15 журналов покрывают площадь S. Тогда можно убрать один журнал так, чтобы оставшиеся журналы покрывали площадь S₁S. Затем можно убрать второй журнал так, чтобы оставшиеся журналы покрывали площадь S₂S₁S, и т.д. После того как мы уберём седьмой журнал, оставшиеся журналы будут покрывать площадь S₇S₆S.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	19
Год	1956
вариант
Класс	7
Тур	2
задача
Номер	5