Информация о задаче

Задача 79272

Темы:	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Гомотетичные многоугольники	]
	[	Вписанные и описанные многоугольники	]
	[	Итерации	]
	[	Окружность, вписанная в угол	]
	[	Лемма о вложенных отрезках	]

Сложность: 6-
Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Выпуклый многоугольник обладает следующим свойством: если все прямые, на которых лежат его стороны, параллельно перенести на расстояние 1 во внешнюю сторону, то полученные прямые образуют многоугольник, подобный исходному, причём параллельные стороны окажутся пропорциональными. Доказать, что в данный многоугольник можно вписать окружность.

Решение

Заметим, что обратное утверждение доказать значительно проще: если в многоугольник можно вписать окружность, то при отодвигании всех его сторон на одно и тоже расстояние (в частности, на единицу) получается подобный многоугольник, причём центром подобия служит центр окружности.
Перейдём теперь к решению задачи.
Первый способ.

Пусть многоугольник P' получается из многоугольника P отодвиганием сторон внутрь многоугольника P на расстояние 1 и в то же время P' можно получить из P преобразованием f подобия с коэффициентом k < 1. Подвергнем этому преобразований многоугольник P вместе с нарисованным внутри него многоугольником P'. Тогда внутри P' (образа P) появится новый многоугольник P'' (образ P'), подобный P' (с коэффициентом k) и P (с коэффициентом k²), причём, очевидно, стороны P'' = f (P') можно получить отодвиганием сторон P' внутрь на расстояние k. Точно так же, отодвинув стороны ещё на k² получим многоугольник f (P'') = P⁽³⁾, расположенный внутри P'' (образ P'' при преобразовании f), и так далее: f (P⁽³⁾) = P⁽⁴⁾,..., f (P⁽ⁿ⁾) = P⁽ⁿ⁺¹⁾, ...,
гдеP P' P'' P⁽³⁾ ... P⁽ⁿ⁾....
Очевидно, поскольку стороны многоугольника P⁽ⁿ⁾ каждый раз уменьшаются в одном и том же отношении, их длины стремятся к нулю, и поэтому пересечение всех многоугольников состоит из одной точки. (Тот факт, что это пересечение не пусто, легко вывести из аналогичного утверждения для числовой прямой: последовательность вложенных отрезков [a;b] [a₁;b₁] ... [a_n, b_n] ... всегда имеет общую точку (это утверждение или какое-либо ему эквивалентное при аксиоматическом введении действительных чисел принимается обычно за аксиому).) Обозначим её через O.
Каждая сторона многоугольника P' последовательно отодвигается на расстояния k, k², k³,..., kⁿ,..., поэтому расстояние от каждой стороны до точки O равно одному и тому же числу — сумме бесконечной геометрической прогрессии

k + k² + k³ + ... + kⁿ + ... = r.

Таким образом, окружность с центром O и радиусом r касается всех сторон многоугольника P'.
Заметим, что в приведённом доказательстве было несущественно, какие именно стороны соответствуют друг другу при преобразовании подобия f, переводящем P в P'. Можно доказать такую лемму: если многоугольники P и P' (полученный из P отодвиганием сторон на 1) подобны с каким угодно соответствием сторон (с "поворотом" или "симметричным отражением" порядка сторон), то всегда будет иметь место и подобие c естественным порядком сторон — гомотетия с коэффициентом k (0 < k < 1). Доказательство, независимое от первого решения, мы приведём в конце, а пока дадим ещё два решения задачи, опирающихся на эту лемму (то есть подразумевающих естественное соответствие сторон при подобии).

Второй способ. Пусть [AB] — сторона P, [A'B'] — соответствующая сторона P', O — точка пересечения (AA') и (BB'). Тогда

$\displaystyle {\frac{\vert A'O\vert}{\vert AO\vert}}$ = $\displaystyle {\frac{\vert A'B'\vert}{\vert AB\vert}}$ = $\displaystyle {\frac{\vert B'O\vert}{\vert BO\vert}}$ = k.

Отсюда следует, что в той же точке O прямую BB' пересекает прямая CC' (BC и B'C' — соответствующие стороны P и P'), и так далее. Кроме того, очевидно, что прямые AA', BB', CC',... являются биссектрисами углов A', B', C',... многоугольника P'. Отсюда следует, что точка O служит центром окружности, вписанной в P'.

Третий способ. Разрежем "щель" между многоугольниками P и P' на прямоугольники высоты 1 с основаниями A'B', B'С', С'D', ... и "ромбоиды" — четырёхугольники, остающиеся у каждой вершины A, B, C, .... Очевидно, из этих ромбоидов можно составить один многоугольник, описанный около окружности радиуса единица, причём его углы соответственно конгруэнтны $\angle$ A, $\angle$ B, $\angle$ C ,..., а длины сторон равны разностям длин соответствующих сторон многоугольников P и P', то есть равны (1 − k)|AB|, (1 − k)|BC|, .... Таким образом, наш многоугольник P' подобен многоугольнику, описанному около окружности радиуса 1, значит, и в него можно вписать окружность (радиус её будет равен, очевидно, r = ${\frac{k}{1-k}}$ ).

Доказательство леммы. Будем для каждой стороны [AB] многоугольника P обозначать через [A'B'] ту сторону P', которая получается при отодвигании AB. Пусть при подобии стороне [A₁B₁] соответствует [A₂'B₂']:
[A₁B₁]

[A₂'B₂'], [A₂B₂]

[A₃'B₃'], ..., [A_r-1B_r-1]

[A_r'B_r'], [A_rB_r]

Но, как нетрудно доказать, это система (при 0 < k < 1) имеет только одно решение x₁ = x₂ = ... = x_r = ${\frac{d}{1-k}}$ . Таким образом, мы доказали, что для любой стороны A₁B₁ многоугольника P |A₁'B₁'| = k|A₁B₁|, то есть соответствующие друг другу (при отодвигании!) стороны многоугольников пропорциональны. Углы при отодвигании не меняются, поэтому подобие многоугольников с естественным соответствием сторон [AB] $\to$ [A'B'] доказано.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	19
Название	Гомотетия и поворотная гомотетия
Тема	Гомотетия и поворотная гомотетия
параграф
Номер	1
Название	Гомотетичные многоугольники
Тема	Гомотетичные многоугольники
задача
Номер	19.006


журнал
Название	"Квант"
год
Год	1974
выпуск
Номер	9
Задача
Номер	М283


олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	37
Год	1974
вариант
Класс	10
Тур	1
задача
Номер	5


олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	37
Год	1974
вариант
Класс	9
Тур	1
задача
Номер	5