Условие
В каждой вершине выпуклого
k-угольника находится охотник, вооруженный
лазерным ружьем. Все охотники одновременно выстрелили в зайца, сидящего в точке
O внутри этого
k-угольника. В момент выстрела заяц пригибается, и все
охотники погибают. Доказать, что нет другой точки, кроме
O, обладающей
указанным свойством.
Решение
По условию вершины
k-угольника разбиты на пары
{
Ai,
Aj} так, что точка
O принадлежит каждому из отрезков
AiAj. Более того, для любой
другой пары {
Ap,
Aq} точки
Ap и
Aq лежат по разные стороны от
прямой
ApAq. Из этого следует, что по обе стороны от прямой
AiAj
лежит по
точек (в частности,
k чётно). Таким образом,
O — точка пересечения "больших" диагоналей
k-угольника, т.е.
диагоналей
AiAi + 
.
Источники и прецеденты использования
