Задача 79480
|
|
 |
Условие
Доказать, что любое число 2n, где n = 3, 4, 5, ... можно представить в виде 7x² + y², где x и y – нечётные числа.
Решение
Докажем это по индукции. База (n = 3). 2³ =7·1² + 1².
Шаг индукции. Пусть 2n = 7x² + y², х и у нечётны. Рассмотрим две пары чисел: (½ (x – y), ½ (7x + y)) и (½ (х + у), ½ (7x − у)). Для каждой пары усемерённый квадрат первого числа плюс квадрат второго даёт 2n+1. Остаётся заметить, что в каждой паре стоят числа одной чётности, а в разных – разной чётности, поэтому числа одной из пар нечётны.
