Задача 86114

Темы:    [ Площадь треугольника (через высоту и основание) ] [ Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними) ] [ Поворот помогает решить задачу ] [ Векторы помогают решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 9,10

Условие

Автор: Хачатурян А.В.

На сторонах треугольника ABC вовне построены квадраты ABB₁A₂, BCC₁B₂ и CAA₁C₂. На отрезках A₁A₂ и B₁B₂ также во внешнюю сторону от треугольников AA₁A₂ и BB₁B₂ построены квадраты A₁A₂A₃A₄ и B₁B₂B₃B₄. Докажите, что  A₃B₄ || AB.

Решение 1

  Поскольку  AB = BB₁,  BC = BB₂  и  ∠B₁BB₂ = π − ∠ABC,  то  S_ABC = S_BB1B2.  Аналогично,  S_B1A2A3 = S_AA1A2 = S_ABC = S_BB1B2 = S_B1A2B4.  Следовательно,
A₃B₄ || A₂B₁ || AB.

Решение 2

  Заметим, что медиана треугольника ABC, проведённая из вершины A, перпендикулярна отрезку A₁A₂ и равна его половине. Действительно, если D – четвёртая вершина параллелограмма ABDC, то треугольник ABD является образом треугольника A₂AA₁ при повороте на 90° вокруг центра квадрата ABB₁A₂.

  Аналогично, отрезок A₃A₂ параллелен медиане треугольника ABC, проведённой из вершины B, и вдвое длиннее её. Поэтому
   

Замечания

Таким образом, мы доказали не только утверждение задачи, но и равенство  A₃B₄ = 4AB.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	68
Год	2005
вариант
Класс	10
задача
Номер	3