Задача 97966
|
|
 |
Условие
Решите систему уравнений:
(x3 + x4 + x5)5 = 3x1,
(x4 + x5 + x1)5 = 3x2,
(x5 + x1 + x2)5 = 3x3,
(x1 + x2 + x3)5 = 3x4,
(x2 + x3 + x4)5 = 3x5.
Решение
Система симметрична относительно циклических перестановок, поэтому можно считать, что x1 – наибольшее из пяти чисел. Тогда (поскольку функция f(x) = x5 возрастающая), 3x2 = (x4 + x5 + x1)5 ≥ (x3 + x4 + x5)5 = 3x1 ≥ 3x2, значит, x2 = x1. Аналогично доказывается, что все числа равны. Осталось решить уравнение (3x)5 = 3x.
Ответ
Три решения: (0, 0, 0, 0, 0), (± ⅓, ± ⅓, ± ⅓, ± ⅓, ± ⅓).
Замечания
5 баллов
