Задача 98039

Темы:    [ Выпуклые многоугольники ] [ Барицентрические координаты ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Фомин Д.

Отмечено 100 точек – N вершин выпуклого N-угольника и  100 – N  точек внутри этого N-угольника. Точки как-то обозначены, независимо от того, какие являются вершинами N-угольника, а какие лежат внутри. Известно, что никакие три точки не лежат на одной прямой, а никакие четыре – на двух параллельных прямых. Разрешается задавать вопросы типа: чему равна площадь треугольника XYZ (X, Y, Z – из числа отмеченных точек). Докажите, что 300 вопросов достаточно, чтобы выяснить, какие точки являются вершинами N-угольника, и чтобы найти его площадь.

Решение

Зафиксируем три точки из ста – A, B, C. Первым вопросом определим S_ABC. Координаты остальных 97 точек определим каждую за три вопроса: отношения S_ABX, S_ACX, S_BCX к S_ABC дают абсолютные величины барицентрических координат точки X (см. задачи 57778, 57779), а так как их сумма всегда равна 1, то определяются и сами координаты. Итак, после 292 вопросов мы знаем барицентрические координаты всех точек. Нарисовав модельную картинку, определяем все остальное.

Замечания

6 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	1989/1990
Номер	11
вариант
Вариант	осенний тур, основной вариант, 10-11 класс
Задача
Номер	5