|
|
 |
Условие
У Игоря и Вали есть по белому квадрату 8×8, разбитому на клетки 1×1. Они закрасили по одинаковому числу клеток на своих квадратах в синий цвет. Докажите, что удастся так разрезать эти квадраты на доминошки 2×1, что и из доминошек Игоря и из доминошек Вали можно будет сложить по квадрату 8×8 с одной и той же синей картинкой.
Решение
Докажем даже больше: как бы Игорь и Валя ни разрезали свои квадраты на доминошки, они всегда смогут составить квадраты с одинаковыми картинками.
Доминошки могут быть трёх сортов: белые, синие и двухцветные. Пусть Игорь и Валя отложат в сторону те доминошки, которые у них совпадают. После этого у них должно остаться поровну как синих, так и белых клеток. Ясно, что у одного из них (пусть у Игоря) останутся только двухцветные доминошки, а у другого – только белые и синие. Синих и белых клеток у Игоря поровну, значит у Вали – тоже. Тогда у неё чётное число доминошек, значит, у Игоря тоже. Но из каждой пары двухцветных доминошек можно сложить такой же квадратик, что и из одной синей и одной белой. Такие квадратики и отложенные доминошки будут совершенно одинаковыми наборами деталек у Игоря и Вали.
Замечания
4 балла
