Условие
В правильном 25-угольнике проведены все диагонали. Докажите, что нет девяти диагоналей, проходящих через одну внутреннюю точку 25-угольника.
Решение 1
Обозначим 25-угольник через A1A2 ... A24A25. Назовём индексом диагонали AiAj (i < j) число min{j – i, 25 – j + i}. Индекс диагонали AiAj, проходящей через точку, в которой пересекаются девять диагоналей, может принимать значения 9, 10, 11 и 12, поскольку между точками Ai и Aj на контуре 25-угольника располагаются ещё 8 концов диагоналей.
Понятно, что диагонали одного индекса касаются одной окружности.
Пусть девять диагоналей правильного 25-угольника пересекаются в одной точке. Тогда среди них есть хотя бы три одного индекса. Это означает, что из некоторой точки проведены три касательные к одной окружности. Противоречие.
Решение 2
Предположим, что n диагоналей A1B1, ..., AnBn пересекаются в точке M. Можно считать, что точки A1, ..., An, B1, ..., Bn расположены в этом порядке "по часовой стрелке". Опишем вокруг 25-угольника окружность. Тогда
(⌣A1A2 + ⌣B1B2) + (⌣A2A3 + ⌣B2B3) + ... + (⌣An–1An + ⌣Bn–1Bn) + (⌣AnB1 + ⌣BnA1) = 2π . Величина каждой дуги кратна φ = 2π/25, поэтому каждая из сумм в скобках не меньше 2φ.
Пусть какая-то из этих сумм (например, A1A2 + B1B2) равна 2φ. Тогда хорды A1A2 и B1B2 равны, следовательно, четырёхугольник A1A2B1B2 является равнобедренной трапецией. Перпендикуляр, опущенный из центра O окружности на основание A1B2 этой трапеции, проходит через середины её оснований, а значит, и через точку M пересечения её диагоналей. При этом, прямая l, перпендикулярная OM и проходящая через точку M, параллельна основаниям трапеции и, следовательно, пересекает её боковые стороны, а значит, и дуги A1A2 и B1B2. Если ещё одна из сумм равна 2φ, то та же прямая l пересекает ещё две пары рассматриваемых дуг, что невозможно. Следовательно, все суммы в скобках, кроме, быть может, одной, не меньше 3φ.
Получаем неравенство (n – 1)·3φ + 2φ ≤ 2φ = 25φ, откуда n ≤ 26/3 < 9.
Замечания
6 баллов
