|
|
 |
Условие
На шахматной доске размером 8×8 отметили 17 клеток.
Докажите, что из них можно выбрать две так, что коню нужно не менее трёх ходов для попадания с одной из них на другую.
Решение 1
Разобьём доску на 16 одинаковых четырёхклеточных фигур: две из них закрашены на рисунке, еще две получим из них сдвигом вниз на две клетки, остальные получим из этих четырёх сдвигами вправо.
Решение 2
Рассмотрим два случая.
1) Среди отмеченных клеток есть клетки обоих цветов. Тогда клеток одного цвета (пусть чёрного) не меньше 9. Из отмеченной белой клетки конь за один ход может попасть только в 8 из них, а после двух ходов он окажется на белой клетке. Значит, для попадания в одну из отмеченных чёрных клеток ему нужно не менее трёх ходов.
2) Все отмеченные клетки – одного цвета (пусть чёрные). Рассмотрим наименьший прямоугольник, содержащий все отмеченные клетки. Его площадь не меньше 33 (в нем не менее 17 чёрных клеток, а значит, не менее 16 белых). Поэтому одна из его сторон (пусть горизонтальная) не меньше 6. Тогда из отмеченной клетки, примыкающей к левой стороне прямоугольника конь не может за два хода попасть в отмеченную клетку, примыкающую к правой стороне.
Замечания
1. 4 балла.
2. Число 17 в задаче не является минимальным. Назовём отмеченные клетки расположенными правильно, если "расстояние" между каждыми двумя из них не превышает двух ходов коня. Покажем, что правильно расположить можно не более 9 клеток. Заметим, что любые две правильно расположенные клетки разных цветов находятся на расстоянии "хода коня" друг от друга, а клетки одного цвета – на расстоянии двух ходов коня.
Предположим, что нам удалось правильно разместить несколько клеток. Рассмотрим два случая.
1) Отмечено не менее двух клеток каждого цвета. Тогда все белые отмеченные клетки должны располагаться на одном расстоянии в один ход коня как от одной чёрной отмеченной клетки, так и от другой. Значит, центры этих белых клеток принадлежат пересечению двух окружностей радиуса Но две окружности пересекаются не более чем в двух точках. Следовательно, белых клеток не более двух. Аналогично, чёрных клеток не более двух, то есть отмечено ровно четыре клетки.
2) Отмечено менее двух клеток одного (пусть белого) цвета. Как следует из задачи 116486, клеток другого цвета может быть отмечено не более восьми. Следовательно, всего отмечено не более девяти клеток.
Девять клеток правильно отметить можно: клетка в середине доски и восемь клеток, которые бьёт конь, стоящий на первой клетке.
