Задача 98517

Темы:    [ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ] [ Правильный тетраэдр ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Условие

Автор: Произволов В.В.

На поверхности правильного тетраэдра с ребром 1 отмечены девять точек.
Докажите, что среди этих точек найдутся две, расстояние между которыми (в пространстве) не превосходит 0,5.

Решение

Разобьём каждую грань тетраэдра средними линиями на четыре равносторонних треугольника. Назовём кульком объединение трёх таких треугольников, прилегающих к одной вершине тетраэдра. Теперь поверхность тетраэдра разбита на 8 частей: четыре кулька и четыре оставшихся треугольника. Так как отмеченных точек больше восьми, то по крайней мере две из них попадут в одну часть. Очевидно, расстояние между этими точками не превышает 0,5.

Замечания

5 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	2000/2001
Номер	22
вариант
Вариант	весенний тур, тренировочный вариант, 10-11 класс
Задача
Номер	5