Задача 98580

Темы:    [ Выпуклые многоугольники ] [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ] [ Принцип Дирихле (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Автор: Женодаров Р.Г.

В выпуклом 2002-угольнике провели несколько диагоналей, не пересекающихся внутри 2002-угольника. В результате 2002-угольник разделился на 2000 треугольников. Могло ли случиться, что ровно у половины этих треугольников все стороны являются диагоналями этого 2002-угольника?

Решение

Все стороны 2002-угольника являются сторонами треугольников. В один треугольник может попасть не более двух сторон многоугольника. Поэтому треугольников, в которые попали стороны 2002-угольника, не меньше чем  2002 : 2 = 1001,  что больше половины.

Ответ

Не могло.

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	2002/2003
Номер	24
вариант
Вариант	осенний тур, тренировочный вариант, 8-9 класс
Задача
Номер	1