Задача 98606

Темы:    [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Средняя линия трапеции ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Автор: Женодаров Р.Г.

На боковых сторонах AB и BC равнобедренного треугольника ABC взяты точки K и L соответственно, так что  AK + LC = KL.  Из середины M отрезка KL провели прямую, параллельную BC, и эта прямая пересекла сторону AC в точке N. Найдите величину угла KNL.

Решение

Проведём через точку K прямую, параллельную BC, до пересечения с основанием AC в точке P. Очевидно,  KP = AK.  MN – средняя линия трапеции (или параллелограмма) KLCP, значит,  MN = ½ (LC + KP) = ½ KL.  Таким образом, угол KNL опирается на диаметр окружности с центром M, поэтому он прямой.

Ответ

90°.

Замечания

5 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	2002/2003
Номер	24
вариант
Вариант	весенний тур, тренировочный вариант, 8-9 класс
Задача
Номер	3