Страница:
<< 3 4 5 6 7
8 9 >> [Всего задач: 43]
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
|
Многочлены P, Q и R с действительными коэффициентами, среди которых есть многочлен второй степени и многочлен третьей степени, удовлетворяют равенству P² + Q² = R². Докажите, что все корни одного из многочленов третьей степени – действительные.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
|
Функции f(x) – x и f(x²) – x6 определены при всех положительных x и возрастают.
Докажите, что функция 
также возрастает при всех положительных x.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
|
Каких точных квадратов, не превосходящих 1020, больше: тех, у которых семнадцатая с конца цифра – 7, или тех, у которых семнадцатая с конца цифра – 8?
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
|
В бесконечной последовательности (xn) первый член x1 – рациональное число, большее 1, и xn+1 = xn + 1/[xn] при всех натуральных n.
Докажите, что в этой последовательности есть целое число.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 10,11
|
Для натурального a обозначим через P(a) наибольший простой делитель числа a² + 1.
Докажите, что существует бесконечно много таких троек различных натуральных чисел a, b, c, что P(a) = P(b) = P(c).
Страница:
<< 3 4 5 6 7
8 9 >> [Всего задач: 43]
Все авторы
>>
Голованов А.С. 
