Страница: 1 [Всего задач: 5]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 98127

Тема:   [ Линейные неравенства и системы неравенств ]

Сложность: 3- Классы: 7,8,9

n чисел  (n > 1)  называются близкими, если каждое из них меньше чем сумма всех чисел, делённая на  n – 1.  Пусть  a, b, c, ...   – n близких чисел, S – их сумма. Докажите, что
  а) все они положительны;
  б)  a + b > c;
  в)  a + b > ^S/_n–1.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 73809

Темы:   [ Разложение на множители ] [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9

Найдите наименьшее число вида   а)  |11^k – 5ⁿ|;   б)  |36^k – 5ⁿ|;   в)  |53^k – 37ⁿ|,  где k и n – натуральные числа.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 73827

Темы:   [ Процессы и операции ] [ Четность и нечетность ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9

На доске выписаны числа от 1 до 50. Разрешено стереть любые два числа и вместо них записать одно число – модуль их разности. После 49-кратного повторения указанной процедуры на доске останется одно число. Какое это может быть число?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 73786

Темы:   [ Перестройки ] [ Полуинварианты ] [ Индукция в геометрии ] [ Принцип Дирихле (углы и длины) ]

Сложность: 4+ Классы: 7,8,9

Дано n фишек нескольких цветов, причём фишек каждого цвета не более n/2. Докажите, что их можно расставить на окружности так, чтобы никакие две фишки одинакового цвета не стояли рядом.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 73773

Темы:   [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ] [ Бином Ньютона ] [ Индукция (прочее) ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Рекуррентные соотношения (прочее) ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

Для любого натурального числа n сумма     делится на 2^n–1. Докажите это.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями