Этапы:
-
Региональный этап
(27 задач)
Заключительный этап
(23 задачи)
Фильтр
Задачи
Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 56]
В классе каждый болтун дружит хотя бы с одним молчуном.
При этом болтун молчит, если в кабинете находится нечетное число его друзей
– молчунов.
Докажите, что учитель может пригласить на факультатив не менее половины
класса так, чтобы все болтуны молчали.
Многогранник описан около сферы. Назовем его грань большой, если
проекция сферы на плоскость грани целиком попадает в грань.
Докажите, что больших граней не больше 6.
Существуют ли действительные числа a , b и c такие, что при
всех действительных x и y выполняется неравенство
|x+a|+|x+y+b|+|y+c|>|x|+|x+y|+|y|?
Клетки квадрата 50×50 раскрашены в четыре цвета. Докажите, что
существует клетка, с четырех сторон от которой (т.е. сверху, снизу, слева
и справа) имеются клетки одного с ней цвета (не обязательно соседние с этой клеткой).
Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 56]
Задача 110011 (#99.4.11.2) |
|
|
Произведение положительных чисел x, y и z равно 1.
Докажите, что если 1/x + 1/y + 1/z ≥ x + y + z, то для любого натурального k выполнено неравенство x–k + y–k + z–k ≥ xk + yk + zk.
|
|
Решение |
Задача 109998 (#99.4.11.3) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 109999 (#99.4.11.4) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 110000 (#99.4.11.5) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 110001 (#99.4.11.6) |
|
|
|
|
|
Решение |
Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 56]
