Версия для печати
Убрать все задачи

---

В окружность Ω вписан остроугольный треугольник ABC, в котором  AB > BC.  Пусть P и Q – середины меньшей и большей дуг AC окружности Ω, соответственно, а M – основание перпендикуляра, опущенного из точки Q на отрезок AB. Докажите, что описанная окружность треугольника BMC делит пополам отрезок BP.

   Решение

---

На сторонах остроугольного треугольника ABC взяты точки A₁, B₁, C₁ так, что отрезки AA₁, BB₁, CC₁ пересекаются в точке H.
Докажите, что  AH·A₁H = BH·B₁H = CH·C₁H  тогда и только тогда, когда H – точка пересечения высот треугольника ABC.

   Решение

---

а) Точки A, B и C лежат на одной прямой, а точки A₁, B₁ и C₁ – на другой. Докажите, что если  AB₁ || BA₁  и  AC₁ || CA₁,  то  BC₁ || CB₁.

б) Точки A, B и C лежат на одной прямой, а точки A₁, B₁ и C₁ таковы, что  AB₁ || BA₁,  AC₁ || CA₁  и  BC₁ || CB₁.
Докажите, что точки A₁, B₁ и C₁ лежат на одной прямой.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 22]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 58390

Тема:   [ Связь величины угла с длиной дуги и хорды ]

Сложность: 3 Классы: 9,10

Пусть a, b и c — комплексные числа, лежащие на единичной окружности с центром в нуле. Докажите, что комплексное число (a + b + c - bc) соответствует основанию высоты, опущенной из вершины a на сторону bc.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 58391

Тема:   [ Связь величины угла с длиной дуги и хорды ]

Сложность: 3 Классы: 9,10

Докажите, что прямая, проходящая через точки a₁ и a₂, задаётся уравнением

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 58392

Тема:   [ Связь величины угла с длиной дуги и хорды ]

Сложность: 3 Классы: 9,10

а) Докажите, что все окружности и прямые задаются уравнениями вида

где A и D — вещественные числа, а c — комплексное число. Наоборот, докажите, что любое уравнение такого вида задает либо окружность, либо прямую, либо точку, либо пустое множество.
б) Докажите, что при инверсии окружности и прямые переходят в окружности и прямые.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 58393

Тема:   [ Связь величины угла с длиной дуги и хорды ]

Сложность: 4 Классы: 9,10

а) Пусть = + . Докажите, что точки a, b, c являются вершинами правильного треугольника тогда и только тогда, когда a + b + c = 0 или a + b + c = 0.
б) Докажите, что точки a, b, c являются вершинами правильного треугольника тогда и только тогда, когда a² + b² + c² = ab + bc + ac.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 58394

Тема:   [ Связь величины угла с длиной дуги и хорды ]

Сложность: 4 Классы: 9,10

Пусть точки A^*, B^*, C^*, D^* являются образами точек A, B, C, D при инверсии. Докажите, что:
а) : = : ;
б) (DA, AC) - (DB, BC) = (D^*B^*, B^*C^*) - (D^*A^*, A^*C^*).

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 22]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями