Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 60]

Задача 57787 (#14.038)

Тема:

[

Барицентрические координаты

]

Сложность: 6
Классы: 9,10

а) Докажите, что точки с барицентрическими координатами ( $\alpha$ : $\beta$ : $\gamma$ ) и ( $\alpha^{-1}_{}$ : $\beta^{-1}_{}$ : $\gamma^{-1}_{}$ ) изотомически сопряжены относительно треугольника ABC.
б) Длины сторон треугольника ABC равны a, b и c. Докажите, что точки с барицентрическими координатами ( $\alpha$ : $\beta$ : $\gamma$ ) и (a²/ $\alpha$ : b²/ $\beta$ : c²/ $\gamma$ ) изогонально сопряжены относительно треугольника ABC.

Прислать комментарий Решение

Задача 57788 (#14.040B)

Тема:

[

Барицентрические координаты

]

Сложность: 6
Классы: 9,10

Две прямые заданы в барицентрических координатах уравнениями a₁ $\alpha$ + b₁ $\beta$ + c₁ $\gamma$ = 0 и a₂ $\alpha$ + b₂ $\beta$ + c₂ $\gamma$ = 0.
а) Докажите, что точка пересечения этих прямых имеет барицентрические координаты

$\displaystyle \left(\vphantom{\begin{vmatrix}b_1 & c_1 \\ b_2 & c_2 \end{vmatr... ..._2 \end{vmatrix}: \begin{vmatrix}a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix}}\right.$ $\displaystyle \begin{vmatrix}b_1 & c_1 \\ b_2 & c_2 \end{vmatrix}$ : $\displaystyle \begin{vmatrix}c_1 & a_1 \\ c_2 & a_2 \end{vmatrix}$ : $\displaystyle \begin{vmatrix}a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\begin{vmatrix}b_1 & c_1 \\ b_2 & c_2 \end{vmatr... ..._2 \end{vmatrix}: \begin{vmatrix}a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix}}\right)$ .

б) Докажите, что эти прямые параллельны тогда и только тогда, когда

$\displaystyle \begin{vmatrix}b_1 & c_1 \\ b_2 & c_2 \end{vmatrix}$ + $\displaystyle \begin{vmatrix}c_1 & a_1 \\ c_2 & a_2 \end{vmatrix}$ + $\displaystyle \begin{vmatrix}a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix}$ = 0.

Прислать комментарий

Решение

Задача 57789 (#14.038.1)

Тема:

[

Барицентрические координаты

]

Сложность: 6+
Классы: 9,10

На прямых AB, BC, CA даны точки C₁ и C₂, A₁ и A₂, B₁ и B₂. Точки C₁ и C₂ определяют числа $\gamma_{1}^{}$ и $\gamma_{2}^{}$ , для которых (1 + $\gamma_{1}^{}$ ) $\overrightarrow{AC_1}$ = $\overrightarrow{AB}$ и (1 + $\gamma_{2}^{}$ ) $\overrightarrow{C_2B}$ = $\overrightarrow{AB}$ ; числа $\alpha_{1}^{}$ , $\alpha_{2}^{}$ , $\beta_{1}^{}$ , $\beta_{2}^{}$ определяются аналогично. Докажите, что прямые A₂B₁, B₂C₁ и C₂A₁ пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда

$\displaystyle \alpha_{1}^{}$ $\displaystyle \beta_{1}^{}$ $\displaystyle \gamma_{1}^{}$ + $\displaystyle \alpha_{2}^{}$ $\displaystyle \beta_{2}^{}$ $\displaystyle \gamma_{2}^{}$ + $\displaystyle \alpha_{1}^{}$ $\displaystyle \alpha_{2}^{}$ + $\displaystyle \beta_{1}^{}$ $\displaystyle \beta_{2}^{}$ + $\displaystyle \gamma_{1}^{}$ $\displaystyle \gamma_{2}^{}$ = 1.

Замечание. При $\alpha_{2}^{}$ = $\beta_{2}^{}$ = $\gamma_{2}^{}$ = 0 точки A₂, B₂, C₂ совпадают с B, C, A; в этом случае получаем теорему Чевы. При $\alpha_{1}^{}$ $\alpha_{2}^{}$ = $\beta_{1}^{}$ $\beta_{2}^{}$ = $\gamma_{1}^{}$ $\gamma_{2}^{}$ = 1 совпадают точки A₁ и A₂, B₁ и B₂, C₁ и C₂. (Действительно, совпадение точек A₁ и A₂ эквивалентно тому, что ${\frac{1}{\alpha_1}}$ + ${\frac{1}{\alpha_2}}$ = 1; это равенство эквивалентно равенству $\alpha_{1}^{}$ $\alpha_{2}^{}$ = 1.) Прямые A₁B₁, B₁C₁ и C₁A₁ пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда они совпадают. В этом случае получаем теорему Менелая.

Прислать комментарий

Решение

Задача 57790 (#14.041B)

Тема:

[

Барицентрические координаты

]

Сложность: 6+
Классы: 9,10

Пусть ( $\alpha_{1}^{}$ , $\beta_{1}^{}$ , $\gamma_{1}^{}$ ) и ( $\alpha_{2}^{}$ , $\beta_{2}^{}$ , $\gamma_{2}^{}$ ) — абсолютные барицентрические координаты точек M и N. Докажите, что

MN² = S_A( $\displaystyle \alpha_{1}^{}$ - $\displaystyle \alpha_{2}^{}$ )² + S_B( $\displaystyle \beta_{1}^{}$ - $\displaystyle \beta_{2}^{}$ )² + S_C( $\displaystyle \gamma_{1}^{}$ - $\displaystyle \gamma_{2}^{}$ )²,

где S = 2Sctg $\omega$ для произвольного угла $\omega$ , A, B, C — углы данного треугольника, а S — его площадь.

Прислать комментарий

Решение

Задача 57791 (#14.041B1)

Тема:

[

Барицентрические координаты

]

Сложность: 6+
Классы: 9,10

Докажите, что величина S, введенная в задаче 14.41B, обладает следующими свойствами:
а) S_A = ${\frac{b^2+c^2-a^2}{2}}$ , S_B = ${\frac{c^2+a^2-b^2}{2}}$ , S_C = ${\frac{a^2+b^2-c^2}{2}}$ .
б) S_A + S_B = c², S_B + S_C = a², S_C + S_A = b².
в) S_A + S_B + S_C = S, где $\varphi$ — угол Брокара.
г) S_AS_B + S_BS_C + S_CS_A = 4S².
д) S_AS_BS_C = 4S²S - (abc)².

Прислать комментарий Решение

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 60]