Страница: << 36 37 38 39 40 41 42 >> [Всего задач: 1255]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 60474  (#03.022)

Тема:   [ Простые числа и их свойства ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Пусть  {p_n} – последовательность простых чисел  (p₁ = 2,  p₂ = 3,  p₃ = 5, ...).
  а) Докажите, что  p_n > 2n  при  n ≥ 5.
  б) При каких n будет выполняться неравенство  p_n > 3n?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60475  (#03.023)

Тема:   [ Простые числа и их свойства ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Докажите неравенство  p_n+1 < p₁p₂...p_n  (p_k – k-е простое число).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60476  (#03.024)

Темы:   [ Простые числа и их свойства ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Верно ли, что все числа вида  p₁p₂...p_n + 1 являются простыми? (p_k – k-е простое число.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60477  (#03.025)  [Числа Евклида]

Темы:   [ Простые числа и их свойства ] [ Рекуррентные соотношения (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Евклидово доказательство бесконечности множества простых чисел наводит на мысль определить рекуррентно числа Евклида:
e₁ = 2,  e_n = e₁e₂...e_n–1 + 1  (n ≥ 2).  Все ли числа e_n являются простыми?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60478  (#03.026)  [Числа Ферма]

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Пусть a и n – натуральные числа, большие 1. Докажите, что если число  aⁿ + 1  простое, то a чётно и  n = 2^k.
(Числа вида  f_k = 2^2k + 1  называются числами Ферма.)

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 36 37 38 39 40 41 42 >> [Всего задач: 1255]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями