Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]

Задача 65516 (#10.1)

Темы:	[	Числовые таблицы и их свойства	]
Темы:	[	Шахматные доски и шахматные фигуры	]

Сложность: 3+
Классы: 7,8,9,10,11

В клетках квадрата 3×3 записаны буквы (см. рисунок). Можно ли их расставить так, чтобы каждые две буквы, исходно отстоявшие на ход коня, после перестановки оказались в клетках, отстоящих на ход короля?

Прислать комментарий

Решение

Задача 65517 (#10.2)

Темы:	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
	[	Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Каково наибольшее количество последовательных натуральных чисел, у каждого из которых ровно четыре натуральных делителя (включая 1 и само число)?

Прислать комментарий

Решение

Задача 65518 (#10.3)

Темы:	[	Перпендикулярные прямые	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Вспомогательные равные треугольники	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Угол между касательной и хордой	]
	[	Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

В остроугольном треугольнике MKN проведена биссектриса KL. Точка X на стороне MK такова, что KX = KN. Докажите, что прямые KO и XL перпендикулярны (O – центр описанной окружности треугольника MKN).

Прислать комментарий

Решение

Задача 65519 (#10.4)

Тема:

[

Исследование квадратного трехчлена

]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Даны три квадратных трёхчлена: x² + b₁x + c₁, x² + b₂x + c₂ и x² + ½ (b₁ + b₂)x + ½ (c₁ + c₂). Известно, что их сумма имеет корни (возможно, два совпадающих). Докажите, что хотя бы у двух из этих трёхчленов также есть корни (возможно, два совпадающих).

Прислать комментарий

Решение

Задача 65520 (#10.5)

Тема:

[

Турниры и турнирные таблицы

]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

В турнире участвовали 50 шахматистов. В некоторый момент турнира была сыграна 61 партия, причём каждый участник сыграл либо две партии, либо три (и никто не играл друг с другом дважды). Могло ли оказаться так, что никакие два шахматиста, сыгравшие по три партии, не играли между собой?

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]