Страница:
<< 4 5 6 7 8 9 10 [Всего задач: 49]
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
|
На доске написана буква А. Разрешается в любом порядке и количестве:
а) приписывать А слева;
б) приписывать Б справа;
в) одновременно приписывать Б слева и А справа.
Например, БААБ так получить можно (A → БAA → БААБ), а АББА – нельзя. Докажите, что при любом натуральном $n$ половину слов длины $n$ получить можно, а другую половину – нельзя.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
|
Даны выпуклый многоугольник $M$ и простое число $p$. Оказалось, что существует ровно $p$ способов разбить $M$ на равносторонние треугольники со стороной 1 и квадраты со стороной 1.
Докажите, что длина одной из сторон многоугольника $M$ равна $p$ – 1.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11
|
На столе в ряд лежат 20 плюшек с сахаром и 20 с корицей в произвольном порядке. Малыш и Карлсон берут их по очереди, начинает Малыш. За ход можно взять одну плюшку с любого края. Малыш хочет, чтобы ему в итоге досталось по десять плюшек каждого вида, а Карлсон пытается ему помешать. При любом ли начальном расположении плюшек Малыш может достичь своей цели, как бы ни действовал Карлсон?
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
|
Звездолёт находится в полупространстве на расстоянии $a$ от его границы. Экипаж знает об этом, но не представляет, в каком направлении двигаться, чтобы достигнуть граничной плоскости. Звездолёт может лететь в пространстве по любой траектории, измеряя длину пройденного пути, и имеет датчик, подающий сигнал, когда граница достигнута. Может ли звездолёт гарантированно достигнуть границы, преодолев путь длиной
а) не более $14а$;
б) не более $13а$?
Страница:
<< 4 5 6 7 8 9 10 [Всего задач: 49]
Фильтр
