Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 48]

Задача 67126 (#10.1)

Темы:	[	Поворотная гомотетия (прочее)	]
Темы:	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Tran Quang Hung

Даны два одинаково ориентированных квадрата $A_1A_2A_3A_4$ и $B_1B_2B_3B_4$. Серединные перпендикуляры к отрезкам $A_1B_1$, $A_2B_2$, $A_3B_3$, $A_4B_4$ пересекают серединные перпендикуляры к отрезкам $A_2B_2$, $A_3B_3$, $A_4B_4$, $A_1B_1$ в точках $P$, $Q$, $R$, $S$ соответственно. Докажите, что $PR\perp QS$.

Прислать комментарий Решение

Задача 67127 (#10.2)

Темы:	[	Общая касательная к двум окружностям	]
	[	Инверсия помогает решить задачу	]
	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

Автор: Кузнецов А.

Дан выпуклый четырехугольник $ABCD$. Общие внешние касательные к окружностям $ABC$ и $ACD$ пересекаются в точке $E$, к окружностям $ABD$ и $BCD$ – в точке $F$. Докажите, что если точка $F$ лежит на прямой $AC$, то точка $E$ лежит на прямой $BD$.

Прислать комментарий Решение

Задача 67128 (#10.3)

Темы:	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

Автор: Челноков Г.Р.

Прямая пересекает отрезок $AB$ в точке $C$. Какое максимальное число точек $X$ может найтись на этой прямой так, чтобы один из углов $AXC$ и $BXC$ был в два раза больше другого?

Прислать комментарий Решение

Задача 67129 (#10.4)

Темы:	[	Цепочки окружностей. Теорема Фейербаха	]
Темы:	[	Теорема Птолемея	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11

Авторы: Матвеев А., Фролов И.И.

Выпуклый четырехугольник $ABCD$ таков, что $\angle B=\angle D$. Докажите, что середина диагонали $BD$ лежит на общей внутренней касательной к окружностям, вписанным в треугольники $ABC$ и $ACD$.

Прислать комментарий Решение

Задача 67130 (#10.5)

Темы:	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]
	[	Общая касательная к двум окружностям	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Авторы: Марданов А., Струихина К.

Из точки $A$ к окружности $\Omega$ проведены касательные $AB$ и $AC$. На отрезке $BC$ отмечена середина $M$ и произвольная точка $P$. Прямая $AP$ пересекает окружность $\Omega$ в точках $D$ и $E$. Докажите, что общие внешние касательные к окружностям $MDP$ и $MPE$ пересекаются на средней линии треугольника $ABC$.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 48]