Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 48]

Задача 67116 (#8.7)

Темы:	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства	]
	[	Вспомогательные проекции	]
	[	Вписанные и описанные многоугольники	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

Автор: Шаповалов А.В.

На плоскости даны десять точек таких, что любые четыре лежат на контуре некоторого квадрата. Верно ли, что все десять лежат на контуре некоторого квадрата?

Прислать комментарий Решение

Задача 67117 (#8.8)

Темы:	[	Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Вписанные и описанные многоугольники	]

Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11

Автор: Кухарчук И.

Дана равнобокая трапеция $ABCD$ ($AB=CD$). На описанной около неё окружности выбирается точка $P$ так, что отрезок $CP$ пересекает основание $AD$ в точке $Q$. Пусть $L$ – середина $QD$. Докажите, что длина диагонали трапеции не превосходит суммы расстояний от середин её боковых сторон до любой точки прямой $PL$.

Прислать комментарий Решение

Задача 67118 (#9.1)

Темы:	[	Вневписанные окружности	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]

Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11

Автор: Швецов Д.В.

Пусть $BH$ – высота прямоугольного треугольника $ABC$ $(\angle B=90^{\circ})$. Вневписанная окружность треугольника $ABH$, противолежащая вершине $B$, касается прямой $AB$ в точке $A_{1}$; аналогично определяется точка $C_{1}$. Докажите, что $AC\parallel A_{1}C_{1}$.

Прислать комментарий Решение

Задача 67119 (#9.2)

Темы:	[	Пересекающиеся окружности	]
	[	Построения (прочее)	]
	[	Экстремальные свойства (прочее)	]
	[	Инверсия помогает решить задачу	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Емельянов Л.А.

Окружности $s_1$ и $s_2$ пересекаются в точках $A$ и $B$. Через точку $A$ проводятся всевозможные прямые, вторично пересекающие окружности в точках $P_1$ и $P_2$. Постройте циркулем и линейкой ту прямую, для которой $P_1A\cdot AP_2$ принимает наибольшее значение.

Прислать комментарий Решение

Задача 67120 (#9.3)

Темы:	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Марданов А.

Средняя линия, параллельная стороне $AC$ треугольника $ABC$, пересекает его описанную окружность в точках $X$ и $Y$. Пусть $I$ – центр вписанной окружности треугольника $ABC$, а $D$ – середина дуги $AC$, не содержащей точку $B$. На отрезке $DI$ отметили точку $L$ такую, что $DL=BI/2$. Докажите, что из точек $X$ и $Y$ отрезок $IL$ виден под равными углами.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 48]