Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 48]

Задача 67111 (#8.2)

Темы:	[	Трапеции (прочее)	]
	[	Свойства серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]

Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11

Автор: Марданов А.

Точка $M$ – середина большей боковой стороны $CD$ прямоугольной трапеции $ABCD$. Описанные около треугольников $BCM$ и $AMD$ окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ пересекаются в точке $E$. Пусть $ED$ пересекает $\omega_1$ в точке $F$, а $FB$ пересекает $AD$ в $G$. Докажите, что $GM$ – биссектриса угла $BGD$.

Прислать комментарий Решение

Задача 67112 (#8.3)

Темы:	[	ГМТ (прочее)	]
	[	Правильный (равносторонний) треугольник	]
	[	Ортогональная (прямоугольная) проекция	]
	[	Векторы помогают решить задачу	]
	[	Центр масс	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Авторы: Заславский А.А., Reznik D.

Даны окружность $\omega$ и не лежащая на ней точка $P$. Пусть $ABC$ – произвольный правильный треугольник, вписанный в $\omega$, а точки $A'$, $B'$, $C'$ – проекции $P$ на прямые $BC$, $CA$, $AB$. Найдите геометрическое место центров тяжести треугольников $A'B'C'$.

Прислать комментарий Решение

Задача 67113 (#8.4)

Темы:	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]
	[	Вспомогательные равные треугольники	]
	[	Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Марданов А.

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность с центром $O$. Пусть $P$ – точка пересечения его диагоналей, а точки $M$ и $N$ – середины сторон $AB$ и $CD$ соответственно. Окружность $OPM$ вторично пересекает отрезки $AP$ и $BP$ в точках $A_1$ и $B_1$ соответственно, а окружность $OPN$ вторично пересекает отрезки $CP$ и $DP$ в точках $C_1$ и $D_1$ соответственно. Докажите, что площади четырёхугольников $AA_1B_1B$ и $CC_1D_1D$ равны.

Прислать комментарий Решение

Задача 67114 (#8.5)

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Отрезок, видимый из двух точек под одним углом	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]

Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11

Автор: Швецов Д.В.

Окружность, вписанная в треугольник $ABC$, касается его сторон $AB$, $BC$, $AC$ в точках $C_{1}$, $A_{1}$, $B_{1}$ соответственно. Пусть $A'$ – точка, симметричная $A_{1}$ относительно прямой $B_{1}C_{1}$; аналогично определяется точка $C'$. Прямые $A'C_{1}$ и $C'A_{1}$ пересекаются в точке $D$. Докажите, что $BD\parallel AC$.

Прислать комментарий Решение

Задача 67115 (#8.6)

Темы:	[	Построения (прочее)	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Касающиеся окружности	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Авторы: Кулаков А., Бремзен А.

Даны две окружности, пересекающиеся в точках $A$, $B$, и точка $O$, лежащая вне их. Циркулем и линейкой постройте такой луч с началом $O$, пересекающий первую окружность в точке $C$, а вторую – в точке $D$, чтобы отношение $OC:OD$ было максимальным.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 48]