Страница: 1 [Всего задач: 5]
Задача
79346
(#1)
|
|
Сложность: 3+ Классы: 11
|
Можно ли на плоскости расположить бесконечное множество одинаковых кругов так,
чтобы любая прямая пересекала не более двух кругов?
Задача
79343
(#2)
|
|
Сложность: 4 Классы: 8,9,10
|
Существуют ли а) 6, б)15, в) 1000 таких различных натуральных чисел, что для любых двух a и b из них сумма a + b делится на разность a − b?
Задача
79341
(#3)
|
|
Сложность: 4 Классы: 9
|
В волейбольном турнире каждые две команды сыграли по одному матчу.
а) Докажите, что если для каждых двух команд найдётся третья, которая выиграла у этих двух, то число команд не меньше семи.
б) Постройте пример такого турнира семи команд.
в) Докажите, что если для любых трёх команд найдётся такая, которая
выиграла у этих трёх, то число команд не меньше 15.
Задача
79347
(#4)
|
|
Сложность: 3+ Классы: 11
|
Последовательность натуральных чисел {xn} строится по следующему правилу: x1 = 2, ..., xn = [1,5xn–1].
Доказать, что последовательность yn = (–1)xn непериодическая.
Задача
79345
(#5)
|
|
Сложность: 4 Классы: 10,11
|
Дан многочлен P(x) с целыми коэффициентами, причём для каждого натурального x выполняется неравенство P(x) > x. Определим последовательность {bn} следующим образом: b1 = 1, bk+1 = P(bk) для k ≥ 1. Известно, что для любого натурального d найдется член последовательности {bn}, делящийся на d. Докажите, что P(x) = x + 1.
Страница: 1 [Всего задач: 5]