Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 [Всего задач: 24]

Задача 109555 (#94.5.11.5)

Темы:	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]
	[	Периодичность и непериодичность	]
	[	Деление с остатком	]
	[	Десятичная система счисления	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Автор: Агаханов Н.Х.

Дана последовательность натуральных чисел a₁, a₂, ..., a_n, в которой a₁ не делится на 5 и для всякого n a_n+1 = a_n + b_n, где b_n – последняя цифра числа a_n. Докажите, что последовательность содержит бесконечно много степеней двойки.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109562 (#94.5.11.6)

Темы:	[	Подсчет двумя способами	]
Темы:	[	Неравенство Коши	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Канель-Белов А.Я.

Функции f(x) и g(x) определены на множестве целых чисел, не превосходящих по модулю 1000. Обозначим через m число пар (x, y), для которых
f(x) = g(y), через n – число пар, для которых f(x) = f(y), а через k – число пар, для которых g(x) = g(y). Докажите, что 2m ≤ n + k.

Прислать комментарий Решение

Задача 109556 (#94.5.11.7)

Темы:	[	Сфера, вписанная в тетраэдр	]
	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Правильный тетраэдр	]
	[	Признаки равенства прямоугольных треугольников	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих	]

Сложность: 5-
Классы: 10,11

Автор: Терешин Д.А.

Высоты AA₁, BB₁, CC₁ и DD₁ тетраэдра ABCD пересекаются в центре H сферы, вписанной в тетраэдр A₁B₁C₁D₁.
Докажите, что тетраэдр ABCD – правильный.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109557 (#94.5.11.8)

Темы:	[	Шахматные доски и шахматные фигуры	]
	[	Симметричная стратегия	]
	[	Шахматная раскраска	]
	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 5
Классы: 7,8,9,10,11

Автор: Перлин А.

Игроки A и B по очереди ходят конем на шахматной доске 1994×1994. Игрок A может делать только горизонтальные ходы, то есть такие, при которых конь перемещается на соседнюю горизонталь. Игроку B разрешены только вертикальные ходы, при которых конь перемещается на соседнюю вертикаль. Игрок A ставит коня на поле, с которого начинается игра, и делает первый ход. При этом каждому игроку запрещено ставить коня на то поле, на котором он уже побывал в данной игре. Проигравшим считается игрок, которому некуда ходить. Докажите, что для игрока A существует выигрышная стратегия.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 [Всего задач: 24]