Версия для печати
Убрать все задачи

---

Две окружности S₁ и S₂ касаются внешним образом в точке F. Их общая касательная касается S₁ и S₂ в точках A и B соответственно. Прямая, параллельная AB, касается окружности S₂ в точке C и пересекает окружность S₁ в точках D и E. Докажите, что общая хорда описанных окружностей треугольников ABC и BDE, проходит через точку F.

   Решение

---

Высоты AA₁, BB₁, CC₁ и DD₁ тетраэдра ABCD пересекаются в центре H сферы, вписанной в тетраэдр A₁B₁C₁D₁.
Докажите, что тетраэдр ABCD – правильный.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 [Всего задач: 24]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 109555  (#94.5.11.5)

Темы:   [ Рекуррентные соотношения (прочее) ] [ Периодичность и непериодичность ] [ Деление с остатком ] [ Десятичная система счисления ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Дана последовательность натуральных чисел a₁, a₂, ..., a_n, в которой a₁ не делится на 5 и для всякого n  a_n+1 = a_n + b_n,  где b_n – последняя цифра числа a_n. Докажите, что последовательность содержит бесконечно много степеней двойки.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109562  (#94.5.11.6)

Темы:   [ Подсчет двумя способами ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Функции  f(x) и g(x) определены на множестве целых чисел, не превосходящих по модулю 1000. Обозначим через m число пар  (x, y),  для которых
f(x) = g(y),  через n – число пар, для которых  f(x) = f(y),  а через k – число пар, для которых g(x) = g(y).  Докажите, что  2m ≤ n + k.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109556  (#94.5.11.7)

Темы:   [ Сфера, вписанная в тетраэдр ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Правильный тетраэдр ] [ Признаки равенства прямоугольных треугольников ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]

Сложность: 5- Классы: 10,11

Высоты AA₁, BB₁, CC₁ и DD₁ тетраэдра ABCD пересекаются в центре H сферы, вписанной в тетраэдр A₁B₁C₁D₁.
Докажите, что тетраэдр ABCD – правильный.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109557  (#94.5.11.8)

Темы:   [ Шахматные доски и шахматные фигуры ] [ Симметричная стратегия ] [ Шахматная раскраска ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 5 Классы: 7,8,9,10,11

Игроки A и B по очереди ходят конем на шахматной доске 1994×1994. Игрок A может делать только горизонтальные ходы, то есть такие, при которых конь перемещается на соседнюю горизонталь. Игроку B разрешены только вертикальные ходы, при которых конь перемещается на соседнюю вертикаль. Игрок A ставит коня на поле, с которого начинается игра, и делает первый ход. При этом каждому игроку запрещено ставить коня на то поле, на котором он уже побывал в данной игре. Проигравшим считается игрок, которому некуда ходить. Докажите, что для игрока A существует выигрышная стратегия.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 [Всего задач: 24]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями