Версия для печати
Убрать все задачи

---

На шахматной доске стоят восемь ладей, не бьющих друг друга. Докажите, что среди попарных расстояний между ними найдутся два одинаковых. (Расстояние между ладьями – это расстояние между центрами клеток, в которых они стоят.)

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 109766  (#02.5.9.1)

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Принцип Дирихле (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9

Можно ли в клетках таблицы 2002×2002 расставить натуральные числа от 1 до 2002² так, чтобы для каждой клетки этой таблицы из строки или из столбца, содержащих эту клетку, можно было бы выбрать тройку чисел, одно из которых равно произведению двух других?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108135  (#02.5.9.2)

Темы:   [ Вневписанные окружности ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Окружность, вписанная в угол ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

На одной стороне угла с вершиной O взята точка A, а на другой – точки B и C, причём точка B лежит между O и C. Проведена окружность с центром O₁, вписанная в треугольник OAB, и окружность с центром O₂, касающаяся стороны AC и продолжений сторон OA и OC треугольника AOC. Докажите, что если  O₁A = O₂A,  то треугольник ABC равнобедренный.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109768  (#02.5.9.3)

Темы:   [ Системы точек ] [ Неравенства с площадями ] [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9

На плоскости отмечено 6 красных, 6 синих и 6 зеленых точек, причем никакие три из отмеченных точек не лежат на одной прямой. Докажите, что сумма площадей треугольников с вершинами одного цвета составляет не более четверти суммы площадей всех треугольников с отмеченными вершинами.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109769  (#02.5.9.4)

Темы:   [ Степень вершины ] [ Связность и разложение на связные компоненты ] [ Правило произведения ]

Сложность: 5 Классы: 8,9,10

Гидры состоят из голов и шей (каждая шея соединяет ровно две головы). Одним ударом меча можно снести все шеи, выходящие из какой-то головы A гидры. Но при этом из головы A мгновенно вырастает по одной шее во все головы, с которыми A не была соединена. Геракл побеждает гидру, если ему удастся разрубить её на две несвязанные шеями части. Найдите наименьшее N, при котором Геракл сможет победить любую стошеюю гидру, нанеся не более чем N ударов.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109770  (#02.5.9.5)

Темы:   [ Шахматные доски и шахматные фигуры ] [ Метод координат на плоскости ] [ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ] [ Классическая комбинаторика (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

На шахматной доске стоят восемь ладей, не бьющих друг друга. Докажите, что среди попарных расстояний между ними найдутся два одинаковых. (Расстояние между ладьями – это расстояние между центрами клеток, в которых они стоят.)

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями