Версия для печати
Убрать все задачи

---

Каждое ли целое число можно записать как сумму кубов нескольких целых чисел, среди которых нет одинаковых?

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 64451  (#1)

Темы:   [ Математическая логика (прочее) ] [ Объединение, пересечение и разность множеств ] [ Шахматные доски и шахматные фигуры ] [ Оценка + пример ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Петя нарисовал на плоскости квадрат, разделил на 64 одинаковых квадратика и раскрасил их в шахматном порядке в чёрный и белый цвета. После этого он загадал точку, находящуюся строго внутри одного из этих квадратиков. Вася может начертить на плоскости любую замкнутую ломаную без самопересечений и получить ответ на вопрос, находится ли загаданная точка строго внутри ломаной или нет. За какое наименьшее количество таких вопросов Вася может узнать, какого цвета загаданная точка – белого или чёрного?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 30263  (#2)

Темы:   [ Многочлены (прочее) ] [ Многочлен нечетной степени имеет действительный корень ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Найдите все n, при которых для любых двух многочленов P(x) и Q(x) степени n найдутся такие одночлены ax^k и bx^l
(0 ≤ k ≤ n,  0 ≤ l ≤ n),  что графики многочленов  P(x) + ax^k  и  Q(x) + bx^l  не будут иметь общих точек.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 35489  (#3)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ] [ Средняя линия треугольника ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Дан правильный треугольник ABC с центром O. Прямая, проходящая через вершину C, пересекает описанную окружность треугольника AOB в точках D и E. Докажите, что точки A, O и середины отрезков BD, BE лежат на одной окружности.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 32134  (#4)

Темы:   [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Каждое ли целое число можно записать как сумму кубов нескольких целых чисел, среди которых нет одинаковых?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 102995  (#5)

Темы:   [ Характеристические свойства и рекуррентные соотношения ] [ Доказательство от противного ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Существуют ли такие две функции  f и g, принимающие только целые значения, что для любого целого x выполнены соотношения:
  а)  f(f(x)) = x,  g(g(x)) = x,   f(g(x)) > x,  g(f(x)) > x?
  б)  f(f(x)) < x, g(g(x)) < x,   f(g(x)) > x,  g(f(x)) > x?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями