ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 6 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

На плоскости дано бесконечное множество прямоугольников, вершины каждого из которых расположены в точках с координатами (0, 0), (0, m), (n, 0), (n, m), где n и m — целые положительные числа (свои для каждого прямоугольника). Докажите, что из этих прямоугольников можно выбрать два так, чтобы один содержался в другом.

Вниз   Решение


На плоскости дано n точек, причем любые три из них можно накрыть кругом радиуса 1. Докажите, что тогда все n точек можно накрыть кругом радиуса 1.

ВверхВниз   Решение


Сумма 100 натуральных чисел, каждое из которых не больше 100, равна 200.
Доказать, что из них можно выбрать несколько чисел, сумма которых равна 100.

ВверхВниз   Решение


Для некоторых положительных чисел x и y выполняется неравенство  x² + y³ ≥ x³ + y4.  Докажите, что  x³ + y³ ≤ 2.

ВверхВниз   Решение


Рамка для трёх квадратных фотографий имеет везде одинаковую ширину (см. рисунок). Периметр одного отверстия равен 60 см, периметр всей рамки равен 180 см. Чему равна ширина рамки?

ВверхВниз   Решение


Сколько сторон может иметь выпуклый многоугольник, все диагонали которого равны?

Вверх   Решение

Задачи

Страница: 1 [Всего задач: 4]      



Задача 55195  (#1)

Темы:   [ Сумма длин диагоналей четырехугольника ]
[ Выпуклые многоугольники ]
Сложность: 4
Классы: 7,8,9

Сколько сторон может иметь выпуклый многоугольник, все диагонали которого равны?

Прислать комментарий     Решение


Задача 79282  (#2)

Темы:   [ Системы точек ]
[ Касающиеся окружности ]
[ Комбинаторная геометрия (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9

На плоскости расположено N точек. Отметим середины всевозможных отрезков с концами в этих точках. Какое наименьшее число отмеченных точек может получиться?
Прислать комментарий     Решение


Задача 79283  (#3)

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ]
[ Теория алгоритмов ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

В клетках прямоугольной таблицы 8×5 расставлены натуральные числа. За один ход разрешается одновременно удвоить все числа одной строки или же вычесть единицу из всех чисел одного столбца. Доказать, что за несколько ходов можно добиться того, чтобы все числа таблицы стали равными нулю.

Прислать комментарий     Решение

Задача 79285  (#5)

Темы:   [ Принцип Дирихле (прочее) ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
[ Арифметика остатков (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9

Сумма 100 натуральных чисел, каждое из которых не больше 100, равна 200.
Доказать, что из них можно выбрать несколько чисел, сумма которых равна 100.

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 [Всего задач: 4]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .