параграфы:
-
Вводные задачи
(4 задачи)
параграф 1. Вписанная и описанная окружности
(17 задач)
параграф 2. Прямоугольные треугольники
(10 задач)
параграф 3. Правильный треугольник
(7 задач)
параграф 4. Треугольники с углами 60 и 120 градусов
(7 задач)
параграф 5. Целочисленные треугольники
(6 задач)
параграф 6. Разные задачи
(21 задача)
параграф 7. Теорема Менелая
(16 задач)
параграф 8. Теорема Чевы
(20 задач)
параграф 9. Прямая Симсона
(15 задач)
параграф 10. Подерный треугольник
(8 задач)
параграф 11. Прямая Эйлера и окружность девяти точек
(10 задач)
параграф 12. Точки Брокара
(11 задач)
параграф 13. Точка Лемуана
(17 задач)
Задачи для самостоятельного решения
(7 задач)
Фильтр
Выбрана 1 задача
Версия для печати
Убрать все задачи
Дан треугольник ABC. На прямых AB, BC и CA взяты точки C1, A1 и B1, причем k из них лежат на сторонах треугольника и 3 - k — на продолжениях сторон. Пусть
Докажите, что:
а) точки A1, B1 и C1 лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда R = 1 и k четно (Менелай);
б) прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке или параллельны тогда и только тогда, когда R = 1 и k нечетно (Чева).
Решение
Убрать все задачи
Дан треугольник ABC. На прямых AB, BC и CA взяты точки C1, A1 и B1, причем k из них лежат на сторонах треугольника и 3 - k — на продолжениях сторон. Пусть
R = 
. 
. 
.
Докажите, что:
а) точки A1, B1 и C1 лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда R = 1 и k четно (Менелай);
б) прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке или параллельны тогда и только тогда, когда R = 1 и k нечетно (Чева).
Решение
Задачи
Страница: << 15 16 17 18 19 20 21 >> [Всего задач: 176]
а) Через точки P и Q проведены тройки прямых.
Обозначим их точки пересечения так, как показано на рис.
Докажите, что прямые KL, AC и MN пересекаются в одной точке (или
параллельны).
б) Докажите, далее, что если точка O лежит на прямой BD, то точка пересечения прямых KL, AC и MN лежит на прямой PQ.
На прямых BC, CA и AB взяты точки A1, B1
и C1. Пусть P1 — произвольная точка прямой BC,
P2 — точка пересечения прямых P1B1 и AB, P3 — точка
пересечения прямых P2A1 и CA, P4 — точка
пересечения
P3C1 и BC и т. д. Докажите, что точки P7 и P1
совпадают.
Диагонали AD, BE и CF шестиугольника ABCDEF пересекаются
в одной точке. Пусть A' — точка пересечения прямых AC и
FB, B' — точка пересечения BD и AC, C' — точка
пересечения CE и BD. Докажите, что точки пересечения прямых
A'B' и D'E', B'C' и E'F', C'D' и F'A' лежат на одной
прямой.
Дан треугольник ABC. На прямых AB, BC и CA
взяты точки C1, A1 и B1, причем k из них лежат на сторонах
треугольника и 3 - k — на продолжениях сторон. Пусть
Докажите, что:
а) точки A1, B1 и C1 лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда R = 1 и k четно (Менелай);
б) прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке или параллельны тогда и только тогда, когда R = 1 и k нечетно (Чева).
Вписанная (или вневписанная) окружность
треугольника ABC касается прямых BC, CA и AB в точках A1, B1
и C1. Докажите, что прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются
в одной точке.
Страница: << 15 16 17 18 19 20 21 >> [Всего задач: 176]
Задача 56911 (#05.068) |
|
|
б) Докажите, далее, что если точка O лежит на прямой BD, то точка пересечения прямых KL, AC и MN лежит на прямой PQ.
|
|
Решение |
Задача 56912 (#05.069) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 56913 (#05.069.1) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 56914 (#05.070) |
|
|
R = . . .
Докажите, что:
а) точки A1, B1 и C1 лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда R = 1 и k четно (Менелай);
б) прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке или параллельны тогда и только тогда, когда R = 1 и k нечетно (Чева).
|
|
|
Решение |
Задача 56915 (#05.071) |
|
|
|
|
|
Решение |
Страница: << 15 16 17 18 19 20 21 >> [Всего задач: 176]
