Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 15 16 17 18 19 20 21 >> [Всего задач: 176]

Задача 56911 (#05.068)

Тема:

[

Теоремы Чевы и Менелая

]

Сложность: 6
Классы: 9

а) Через точки P и Q проведены тройки прямых. Обозначим их точки пересечения так, как показано на рис. Докажите, что прямые KL, AC и MN пересекаются в одной точке (или параллельны).
б) Докажите, далее, что если точка O лежит на прямой BD, то точка пересечения прямых KL, AC и MN лежит на прямой PQ.

Прислать комментарий

Решение

Задача 56912 (#05.069)

Тема:

[

Теоремы Чевы и Менелая

]

Сложность: 6
Классы: 9

На прямых BC, CA и AB взяты точки A₁, B₁ и C₁. Пусть P₁ — произвольная точка прямой BC, P₂ — точка пересечения прямых P₁B₁ и AB, P₃ — точка пересечения прямых P₂A₁ и CA, P₄ — точка пересечения P₃C₁ и BC и т. д. Докажите, что точки P₇ и P₁ совпадают.

Прислать комментарий Решение

Задача 56913 (#05.069.1)

Тема:

[

Теоремы Чевы и Менелая

]

Сложность: 6
Классы: 9

Диагонали AD, BE и CF шестиугольника ABCDEF пересекаются в одной точке. Пусть A' — точка пересечения прямых AC и FB, B' — точка пересечения BD и AC, C' — точка пересечения CE и BD. Докажите, что точки пересечения прямых A'B' и D'E', B'C' и E'F', C'D' и F'A' лежат на одной прямой.

Прислать комментарий Решение

Задача 56914 (#05.070)

Тема:

[

Теоремы Чевы и Менелая

]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11

Дан треугольник ABC. На прямых AB, BC и CA взяты точки C₁, A₁ и B₁, причем k из них лежат на сторонах треугольника и 3 - k — на продолжениях сторон. Пусть

R = $\displaystyle {\frac{BA_1}{CA_1}}$ ^. $\displaystyle {\frac{CB_1}{AB_1}}$ ^. $\displaystyle {\frac{AC_1}{BC_1}}$ .

Докажите, что:
а) точки A₁, B₁ и C₁ лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда R = 1 и k четно (Менелай);
б) прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке или параллельны тогда и только тогда, когда R = 1 и k нечетно (Чева).

Прислать комментарий

Решение

Задача 56915 (#05.071)

Тема:

[

Теоремы Чевы и Менелая

]

Сложность: 5
Классы: 9

Вписанная (или вневписанная) окружность треугольника ABC касается прямых BC, CA и AB в точках A₁, B₁ и C₁. Докажите, что прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 15 16 17 18 19 20 21 >> [Всего задач: 176]