Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 22]

Задача 78818

Темы:	[	Процессы и операции	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Необычные конструкции	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

В городе "Многообразие" живут n жителей, любые два из которых либо дружат, либо враждуют между собой. Каждый день не более чем один житель может начать новую жизнь: перессориться со всеми своими друзьями и подружиться со всеми своими врагами. Доказать, что все жители могут подружиться.
Примечание. Если A — друг B, а B — друг C, то A — также друг C. Предполагается также, что среди любых троих жителей хотя бы двое дружат между собой.

Прислать комментарий Решение

Задача 57396

Темы:	[	Ломаные	]
Темы:	[	Неравенство треугольника (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

В некотором лесу расстояние между каждыми двумя деревьями не превосходит разности их высот. Все деревья имеют высоту меньше 100 м.
Докажите, что этот лес можно огородить забором длиной 200 м.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78825

Темы:	[	Обход графов	]
	[	Принцип Дирихле (прочее)	]
	[	Обратный ход	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

В стране Мара расположено несколько замков. Из каждого замка ведут три дороги. Из какого-то замка выехал рыцарь. Странствуя по дорогам, он из каждого замка, стоящего на его пути, поворачивает либо направо, либо налево по отношению к дороге, по которой приехал. Рыцарь никогда не сворачивает в ту сторону, в которую он свернул перед этим. Доказать, что когда-нибудь он вернётся в исходный замок.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78828

Темы:	[	Обход графов	]
	[	Ориентированные графы	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

В городе Никитовка двустороннее движение. В течение двух лет в городе проходил ремонт всех дорог. Вследствие этого в первый год на некоторых дорогах было введено одностороннее движение. На следующий год на этих дорогах было восстановлено двустороннее движение, а на остальных дорогах введено одностороннее движение. Известно, что в каждый момент ремонта можно было проехать из любой точки города в любую другую. Доказать, что в Никитовке можно ввести одностороннее движение так, что из каждой точки города удастся проехать в любую другую точку.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78829

Темы:	[	Обыкновенные дроби	]
	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]
	[	Подсчет двумя способами	]
	[	Правило произведения	]

Сложность: 4
Классы: 7,8,9

Пусть K(x) равно числу таких несократимых дробей ^a/_b, что a < x и b < x (a и b – натуральные числа). Например, K(⁵/₂) = 3 (дроби 1, 2, ½).
Вычислить сумму K(100) + K(¹⁰⁰/₂) + K(¹⁰⁰/₃) + ... + K(¹⁰⁰/₉₉) + K(¹⁰⁰/₁₀₀).

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 22]