Версия для печати
Убрать все задачи

---

В параллелограмме ABCD точки A₁, B₁, C₁, D₁ лежат соответственно на сторонах AB, BC, CD, DA. На сторонах A₁B₁, B₁C₁, C₁D₁, D₁A₁ четырехугольника A₁B₁C₁D₁ взяты соответственно точки A₂, B₂, C₂, D₂. Известно, что

Докажите, что A₂B₂C₂D₂ — параллелограмм со сторонами, параллельными сторонам ABCD.

   Решение

---

Дан треугольник ABC. Пусть O — точка пересечения его медиан, а M, N и P — точки сторон AB, BC и CA, делящие эти стороны в одинаковых отношениях (т. е. AM : MB = BN : NC = CP : PA = p : q). Докажите, что:
а) O — точка пересечения медиан треугольника MNP;
б) O — точка пересечения медиан треугольника, образованного прямыми AN, BP и CM.

   Решение

---

Дан не равносторонний треугольник ABC. Точки A₁, B₁ и C₁ выбраны так, что треугольники BA₁C, CB₁A и AC₁B собственно подобны. Докажите, что треугольник A₁B₁C₁ равносторонний тогда и только тогда, когда указанные подобные треугольники являются равнобедренными треугольниками с углом 120^o при вершинах A₁, B₁ и C₁.

   Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 49]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 58400  (#29.030)

Тема:   [ Связь величины угла с длиной дуги и хорды ]

Сложность: 6+ Классы: 9,10

а) Даны точка X и треугольник ABC. Докажите, что

где a, b, c — длины сторон треугольника.
б) На сторонах BC, CA, AB взяты точки A₁, B₁, C₁. Пусть a, b, c — длины сторон треугольника ABC, a₁, b₁, c₁ — длины сторон треугольника A₁B₁C₁, S — площадь треугольника ABC. Докажите, что

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 58401  (#29.032B-)

Тема:   [ Связь величины угла с длиной дуги и хорды ]

Сложность: 6+ Классы: 9,10

Дан не равносторонний треугольник ABC. Точки A₁, B₁ и C₁ выбраны так, что треугольники BA₁C, CB₁A и AC₁B собственно подобны. Докажите, что треугольник A₁B₁C₁ равносторонний тогда и только тогда, когда указанные подобные треугольники являются равнобедренными треугольниками с углом 120^o при вершинах A₁, B₁ и C₁.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 58402  (#29.031)

Тема:   [ Связь величины угла с длиной дуги и хорды ]

Сложность: 6+ Классы: 9,10

На сторонах аффинно правильного многоугольника A₁A₂...A_n с центром O внешним образом построены квадраты A_{j + 1}A_jB_jC_{j + 1} (j = 1,..., n). Докажите, что отрезки B_jC_j и OA_j перпендикулярны, а их отношение равно 21 - cos(2/n).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 58403  (#29.032)

Тема:   [ Связь величины угла с длиной дуги и хорды ]

Сложность: 7 Классы: 9,10

На сторонах выпуклого n-угольника внешним образом построены правильные n-угольники. Докажите, что их центры образуют правильный n-угольник тогда и только тогда, когда исходный n-угольник аффинно правильный.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 58404  (#29.032.1)

Тема:   [ Связь величины угла с длиной дуги и хорды ]

Сложность: 7 Классы: 9,10

Вершины треугольника соответствуют комплексным числам a, b и c, лежащим на единичной окружности с центром в нуле. Докажите, что если точки z и w изогонально сопряжены, то z + w + abc = a + b + c (Морли).

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 49]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями