Версия для печати
Убрать все задачи

---

Пусть τ(n) – количество положительных делителей натурального числа n. Решите уравнение  a = 2τ(a).

   Решение

---

Докажите, что при любом целом a
  a)  a⁵ – a  делится на 30;
  б)  a¹⁷ – a  делится на 510;
  в)  a¹¹ – a  делится на 66;
  г)  a⁷³ – a  делится на 2·3·5·7·13·19·37·73.

   Решение

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 55]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 60779  (#04.153)  [Теорема Эйлера]

Темы:   [ Теорема Эйлера ] [ Малая теорема Ферма ] [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Теорема Эйлера. Пусть  m ≥ 1  и  (a, m) = 1.  Тогда  a^φ(m) ≡ 1 (mod m).
Докажите теорему Эйлера с помощью малой теоремы Ферма
  а) в случае, когда  m = pⁿ;
  б) в общем случае.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60780  (#04.154)

Тема:   [ Малая теорема Ферма ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Докажите, что  7⁵¹ – 1  делится на 103.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60781  (#04.155)

Темы:   [ Малая теорема Ферма ] [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Пусть  p > 2  – простое число. Докажите, что  7^p – 5^p – 2  делится на 6p.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60782  (#04.156)

Тема:   [ Теорема Эйлера ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

При помощи теоремы Эйлера найдите число x, удовлетворяющее сравнению  ax + b ≡ 0 (mod m),  где  (a, m) = 1.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60783  (#04.157)

Темы:   [ Малая теорема Ферма ] [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Докажите, что при любом целом a
  a)  a⁵ – a  делится на 30;
  б)  a¹⁷ – a  делится на 510;
  в)  a¹¹ – a  делится на 66;
  г)  a⁷³ – a  делится на 2·3·5·7·13·19·37·73.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 55]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями