Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 115 116 117 118 119 120 121 >> [Всего задач: 1255]

Задача 60873 (#05.035)

[Иррациональность чмсла e]

Темы:	[	Число e	]
	[	Рациональные и иррациональные числа	]
	[	Предел последовательности, сходимость	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Число e определяется равенством Докажите, что

а)

б) где 0 < r_n ≤ 1/_n!n;

в) e – иррациональное число.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60874 (#05.036)

[Число e и комбинаторика]

Темы:	[	Теория графов (прочее)	]
	[	Принцип Дирихле (прочее)	]
	[	Число e	]
	[	Раскраски	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Дано N точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Каждые две из этих точек соединены отрезком, и каждый отрезок окрашен в один из k цветов. Докажите, что если N > [k!e], то среди данных точек можно выбрать такие три, что все стороны образованного ими треугольника будут окрашены в один цвет.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60875 (#05.037)

Темы:	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]
	[	Двоичная система счисления	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	Целая и дробная части. Принцип Архимеда	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Определим последовательности чисел (x_n) и (d_n) условиями x₁ = 1, x_n+1 = [ ], d_n = x_2n+1 – 2x_2n–1 (n ≥ 1).
Докажите, что число в двоичной системе счисления представляется в виде (d₁,d₂d₃...)₂.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60876 (#05.038)

Темы:	[	Периодические и непериодические дроби	]
Темы:	[	Геометрическая прогрессия	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Докажите, что равенство = равносильно тому, что десятичное представление дроби ¹/_m имеет вид 0,(a₁a₂...a_n).

Прислать комментарий

Решение

Задача 60877 (#05.039)

Темы:	[	Теорема Эйлера	]
Темы:	[	Принцип Дирихле (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Докажите, что если (m, 10) = 1, то существует репьюнит E_n, делящийся на m. Будет ли их бесконечно много?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 115 116 117 118 119 120 121 >> [Всего задач: 1255]