Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 117 118 119 120 121 122 123 >> [Всего задач: 1255]

Задача 60883 (#05.045)

Темы:	[	Периодические и непериодические дроби	]
Темы:	[	Теорема Эйлера	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Докажите, что если (m, 30) = 1, то число, состоящее из цифр периода дроби ¹/_m, делится на 9.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60884 (#05.046)

[Эффект девяток]

Тема:

[

Периодические и непериодические дроби

]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11

Периодом дроби ¹/₇ является число N = 142857. Оно обладает следующим свойством: сумма двух половин периода – число из одних девяток
142 + 857 = 999). Докажите в общем случае, что для простого q > 5 и натурального p < q период дроби ^p/_q есть такое 2n-значное число N = N₁N₂, что N₁ + N₂ = .

Прислать комментарий

Решение

Задача 60885 (#05.047)

Тема:

[

Периодические и непериодические дроби

]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Число N = 142857 обладает и рядом других свойств. Например: 2·142857 = 285714, 3·142857 = 428571, ..., то есть при умножении на 1, 2, 3, ..., 6 цифры циклически переставляются; 14 + 28 + 57 = 99; N² = 20408122449, 20408 + 122449 = 142857 = N.
Аналогичные операции можно проделывать и с другими периодами дробей. Что получается для чисел 1/17, 1/19? Объясните эти факты.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60886 (#05.048)

Темы:	[	Периодические и непериодические дроби	]
Темы:	[	Функция Эйлера	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Обозначим через L(m) длину периода дроби ¹/_m. Докажите, что если (m, 10) = 1, то L(m) является делителем числа φ(m).

Прислать комментарий

Решение

Задача 60887 (#05.049)

Темы:	[	Периодические и непериодические дроби	]
	[	Функция Эйлера	]
	[	Арифметика остатков (прочее)	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Пусть (m, n) = 1. Докажите, что сумма длин периода и предпериода десятичного представления дроби ^m/_n не превосходит φ(n).

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 117 118 119 120 121 122 123 >> [Всего задач: 1255]