Версия для печати
Убрать все задачи

---

Треугольник ABC  (AB > BC)  вписан в окружность Ω. На сторонах AB и BC выбраны точки M и N соответственно так, что  AM = CN.  Прямые MN и AC пересекаются в точке K. Пусть P – центр вписанной окружности треугольника AMK, а Q – центр вневписанной окружности треугольника CNK, касающейся стороны CN. Докажите, что середина дуги ABC окружности Ω равноудалена от точек P и Q.

   Решение

---

К натуральному числу N прибавили наибольший его делитель, меньший N, и получили степень десятки. Найдите все такие N.

   Решение

---

Аналогичные указанному в задаче 60808 признаки делимости существуют и для всех чисел вида  10n ± 1  и их делителей. Например, существует признак делимости на 21, из которого получается и признак делимости на 7. Как устроен признак делимости на 21?

   Решение

---

Докажите, что произвольное уравнение третьей степени  z³ + Az² + Bz + C = 0  при помощи линейной замены переменной  z = x + β  можно привести к виду  x³ + px + q = 0.

   Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 100]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 61252  (#09.001)

Темы:   [ Кубические многочлены ] [ Графики и ГМТ на координатной плоскости ] [ Перенос помогает решить задачу ] [ Многочлен нечетной степени имеет действительный корень ] [ Возрастание и убывание. Исследование функций ] [ Производная и экстремумы ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Докажите, что
  а) при  p ≥ 0  график многочлена  x³ + px + q  пересекает каждую горизонтальную прямую ровно в одной точке;
  б) при  p < 0  график пересекает некоторые горизонтальные прямые в трёх точках;
  в) при  p < 0  график имеет один минимум и один максимум;
  г) абсциссы точек минимума и максимума противоположны.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61253  (#09.002)

Тема:   [ Кубические многочлены ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Докажите, что произвольное уравнение третьей степени  z³ + Az² + Bz + C = 0  при помощи линейной замены переменной  z = x + β  можно привести к виду  x³ + px + q = 0.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61254  (#09.003)

Темы:   [ Кубические многочлены ] [ Графики и ГМТ на координатной плоскости ] [ Четность и нечетность ] [ Перенос помогает решить задачу ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Докажите, что график многочлена
  а)  x³ + px;   б)  x³ + px + q;   в)  ax³ + bx² + cx + d
имеет центр симметрии.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61255  (#09.004)

Тема:   [ Кубические многочлены ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Докажите равенство + = 1.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61256  (#09.005)

Тема:   [ Кубические многочлены ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Решите уравнение  x³ + x² + x = – ¹/₃.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 100]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями