Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 12 13 14 15 16 17 18 >> [Всего задач: 100]

Задача 61321 (#09.071)

Темы:	[	Иррациональные уравнения	]
Темы:	[	Методы решения задач с параметром	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Решите уравнение $\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a+x}}}$ = x.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61322 (#09.072)

[Арифметико-геометрическое среднее]

Темы:	[	Средние величины	]
	[	Рекуррентные соотношения	]
	[	Предел последовательности, сходимость	]
	[	Лемма о вложенных отрезках	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Пусть a и b – два положительных числа, причём a < b. Построим по этим числам две последовательности {a_n} и {b_n} по правилам:

a₀ = a, b₀ = b, a_n+1 =

, b_n+1 =

(n ≥ 0).

Докажите, что обе эти последовательности имеют один и тот же предел.
Этот предел называется арифметико-геометрическим средним чисел a, b и обозначается μ(a, b).

Прислать комментарий

Решение

Задача 61323 (#09.073)

[Арифметико-гармоническое среднее]

Темы:	[	Средние величины	]
	[	Предел последовательности, сходимость	]
	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]
	[	Лемма о вложенных отрезках	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Пусть a и b – два положительных числа, и a < b. Определим две последовательности чисел {a_n} и {b_n} формулами:

a₀ = a, b₀ = b, a_n+1 =

, b_n+1 =

(n ≥ 0).

а) Докажите, что обе эти последовательности имеют общий предел.
Этот предел называется арифметико-гармоническим средним чисел a и b.
б) Докажите, что этот предел совпадает со средним геометрическим чисел a и b.
в) Пусть a = 1, b = k. Как последовательность {b_n} связана с последовательностью {x_n} из задачи 61299?

Прислать комментарий

Решение

Задача 61324 (#09.074)

[Геометрико-гармоническое среднее]

Темы:	[	Средние величины	]
	[	Предел последовательности, сходимость	]
	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Назовём геометрико-гармоническим средним чисел a и b общий предел последовательностей {a_n} и {b_n}, построенных по правилу

a₀ = a, b₀ = b, a_n+1 =

, b_n+1 =

(n ≥ 0).

Обозначим его через ν(a, b). Докажите, что величина ν(a, b) связана с μ(a, b) (см. задачу 61322) равенством ν(a, b)·μ(¹/_a, ¹/_b) = 1.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61326 (#09.076)

Темы:	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]
Темы:	[	Итерации	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Найдите с точностью до 0,01 сотый член x₁₀₀ последовательности {x_n}, если
а) x₁ $\in$ [0; 1], x_{n + 1} = x_n(1 - x_n), (n > 1);
б) x₁ $\in$ [0, 1; 0, 9], x_{n + 1} = 2x_n(1 - x_n), (n > 1).

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 12 13 14 15 16 17 18 >> [Всего задач: 100]