Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]

Задача 64581 (#1)

Темы:	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]
Темы:	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Авторы: Френкин Б.Р., Богданов И.И.

a) Петя и Вася задумали по три натуральных числа. Петя для каждых двух своих чисел написал на доске их наибольший общий делитель. Вася для каждых двух из своих чисел написал на доске их наименьшее общее кратное. Оказалось, что Петя написал на доске те же числа, что и Вася (возможно в другом порядке). Докажите, что все написанные на доске числа равны.

б) Останется ли верным утверждение предыдущей задачи, если Петя и Вася изначально задумали по четыре натуральных числа?

Прислать комментарий

Решение

Задача 64588 (#2)

Темы:	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Средняя линия треугольника	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие	]
	[	Отрезок, видимый из двух точек под одним углом	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Автор: Заславский А.А.

Диагонали вписанного четырёхугольника ABCD пересекаются в точке P. Пусть K, L, M, N – середины соответственно сторон AB, BC, CD, AD.
Докажите, что радиусы описанных окружностей треугольников PKL, PLM, PMN и PNK равны.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64589 (#3)

Темы:	[	Арифметическая прогрессия	]
	[	Обыкновенные дроби	]
	[	Делимость чисел. Общие свойства	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Автор: Толпыго А.К.

Найдите все возрастающие арифметические прогрессии с конечным числом членов, сумма которых равна 1, а каждый член имеет вид ¹/_k, где k натуральное.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64584 (#4)

Темы:	[	Классические неравенства (прочее)	]
Темы:	[	Линейная и полилинейная алгебра	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Авторы: Нетай И.В., Шевяков В.

Дан набор из нескольких гирек, на каждой написана масса. Известно, что набор масс и набор надписей одинаковы, но возможно некоторые надписи перепутаны. Весы представляют из себя горизонтальный отрезок, закреплённый за середину. При взвешивании гирьки прикрепляются в произвольные точки отрезка, после чего весы остаются в равновесии либо отклоняются в ту или иную сторону. Всегда ли удастся за одно взвешивание проверить, все надписи верны или нет? (Весы будут в равновесии, если сумма моментов гирь справа от середины равна сумме моментов гирь слева; иначе отклонятся в сторону, где сумма больше. Моментом гири называется произведение ms массы гири m на расстояние s он нее до середины отрезка.)

Прислать комментарий

Решение

Задача 64591 (#5)

Темы:	[	Кооперативные алгоритмы	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Правило произведения	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Грибок С.

Фокуснику завязывают глаза, а зритель выкладывает в ряд N одинаковых монет, сам выбирая, какие – орлом вверх, а какие – решкой. Ассистент фокусника просит зрителя написать на листе бумаги любое целое число от 1 до N и показать его всем присутствующим. Увидев число, ассистент указывает зрителю на одну из монет ряда и просит перевернуть её. Затем фокуснику развязывают глаза, он смотрит на ряд монет и безошибочно определяет написанное зрителем число.
a) Докажите, что если у фокусника с ассистентом есть способы, позволяющие фокуснику гарантированно отгадывать число для N = a и для N = b, то есть способ и для N = ab.
б) Найдите все значения N, для которых у фокусника с ассистентом есть такой способ.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]